Fascio di rette

@martinalapaglia

Ciao di nuovo. 

(2·k + 1)·x + (3 + k)·y + 1 - 2·k = 0

riscrivo: k·(2·x + y - 2) + (x + 3·y + 1) = 0

rette generatrici del fascio: 

{2·x + y - 2 = 0

{x + 3·y + 1 = 0

Risolvo: [x = 7/5 ∧ y = - 4/5]--------> C(7/5,-4/5) centro del fascio (proprio)

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valore di K corrispondente alla parallela alla retta di equazione x+y-1=0:

y = 1 - x--------> m=-1-------> y = -x + q passa per C:  - 4/5 = - 7/5 + q

quindi: q = 3/5------> y = 3/5 - x

(2·k + 1)·x + (3 + k)·y + 1 - 2·k = 0------> y = (2·k - 1)/(k + 3) - x·(2·k + 1)/(k + 3)

{(2·k + 1)/(k + 3)=1      ----------> k = 2

{(2·k - 1)/(k + 3)=3/5    ----------> k = 2 (verifica)

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valore di K corrispondente alla retta passante per P(5,1)

k·(2·5 + 1 - 2) + (5 + 3·1 + 1) = 0-----> 9·k + 9 = 0-------> k = -1

che corrisponde alla retta: (-1)·(2·x + y - 2) + (x + 3·y + 1) = 0

x - 2·y = 3

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Per il terzo punto:

Del fascio di rette
* r(k) ≡ (2*k + 1)*x + (3 + k)*y + (1 - 2*k) = 0
con tutt'e tre i coefficienti parametrici, esamino anzitutto i valori di k che azzerano i coefficienti.
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1) k = - 1/2 genera la retta y = - 4/5
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2) k = - 3 genera la retta x = 7/5
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3) k = 1/2 genera la retta y = - (4/7)*x
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Da tale esame preliminare s'identifica il centro C(7/5, - 4/5) e la forma esplicita in y
* r(k) ≡ (2*k + 1)*x + (3 + k)*y + (1 - 2*k) = 0 ≡
≡ (k = - 3) & (x = 7/5)
oppure
≡ (k != - 3) & (y = (2*k - 1)/(k + 3) - ((2*k + 1)/(k + 3))*x)
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Sviluppare l'equazione data, commutare i monomi e raccogliere il parametro conduce all'identificazione delle due rette generatrici più naturali, ma ovviamente si potrebbero usare anche due altre rette qualsiasi (ad esempio le rette coordinate del centro)
* r(k) ≡ (2*k + 1)*x + (3 + k)*y + (1 - 2*k) = 0 ≡
≡ 2*k*x + x + 3*y + k*y + 1 - 2*k = 0 ≡
≡ x + 3*y + 1 + 2*k*x + k*y - 2*k = 0 ≡
≡ (x + 3*y + 1) + (2*x + y - 2)*k = 0 ≡
≡ a*(x + 3*y + 1) + b*(2*x + y - 2) = 0 ≡
≡ a*(x - 7/5) + b*(y + 4/5) = 0 ≡
≡ ... e così via.
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Tutti e soli i punti P(x, y) equidistanti da due dati punti A(a, p) e B(b, q) giacciono sull'asse del segmento AB
* Per p = q: asse(AB) ≡ x = (a + b)/2
* Per p != q: asse(AB) ≡ y = (2*(b - a)*x + a^2 - b^2 + p^2 - q^2)/(2*(p - q))
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RISPOSTE AI QUESITI
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A) La retta
* x + y - 1 = 0 ≡ y = 1 - x
ha pendenza m = - 1; quindi il valore k richiesto è la radice di
* (2*k + 1)/(k + 3) = - 1 ≡ k = - 4/3
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B) Il valore k richiesto è la radice dell'equazione ottenuta sostituendo alle variabili le coordinate del punto di passaggio P(5, 1)
* (2*k + 1)*5 + (3 + k)*1 + (1 - 2*k) = 0 ≡ k = - 1
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C) Pari pari a B, ma per il punto Q(u, v).
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D) Q è un punto del primo quadrante (u > 0 & v > 0), vertice del triangolo isoscele PCQ di base PC (quindi sull'asse di PC) e area S = 441/40.
L'asse di PC, con P(5, 1) e C(7/5, - 4/5), è
* y = (2*(7/5 - 5)*x + 5^2 - (7/5)^2 + 1^2 - (- 4/5)^2)/(2*(1 - (- 4/5))) ≡
≡ y = 13/2 - 2*x
quindi
* Q(u, 13/2 - 2*u)
dove
* (u > 0) & (13/2 - 2*u > 0) ≡ 0 < u < 13/4
La distanza d di Q dagli estremi P e C (lato di gamba di PCQ) è
* |PQ| = |CQ| = d(u) = √(5*u^2 - 32*u + 221/4)
La distanza fra gli estremi P e C (lato di base di PCQ) è
* |PC| = b = 9/√5
L'altezza h di PCQ è
* h(u) = √((d(u))^2 - (b/2)^2) =
= √(((5*u^2 - 32*u + 221/4))^2 - ((9/√5)/2)^2) =
= √(((5*u^2 - 32*u + 221/4))^2 - 81/20)
L'area S di PCQ è
* S(u) = b*h/2 = (9/√5)*√(((5*u^2 - 32*u + 221/4))^2 - 81/20)/2 = 441/40 ≡
≡ u = (32 ± √(5*√545 - 81))/10 ~≡
~≡ (u ~ = 2.6 > 0) oppure (u ~ = 3.8 > 0)
DA QUI IN POI DOVRESTI FARCELA DA SOLA.