[Risolto] Fascio di parabole

Palombella rossa, ceffone e urlo:
«MA COME PARLA? COME PARLA? LE PAROLE SONO IMPORTANTI!».
Quali possano essere le "principali caratteristiche" dell'equazione parametrica
* Γ(k) ≡ (k + 1)*y^2 + (k - 1)*x + 2*(k - 1)*y = 0
e delle curve da essa rappresentate al variare del parametro, dipende principalmente dalle personali idiosincrasie di chi la sta considerando.
Se a considerarla sono io allora esamino prima i casi particolari e poi quello generale e, fra le mie idiosincrasie, c'è anche quella di chiamare k l'unico parametro e riserbare il nome m per la pendenza.
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* Γ(- 1) ≡ y = - x/2
retta per l'origine con pendenza m = - 1/2
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* Γ(+ 1) ≡ y = 0
l'asse x
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Per |k| != 1 si ha
* Γ(k) ≡ x = - (((k + 1)/(k - 1))*y^2 + 2*y)
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a) quelle per (2, - 2) devono soddisfare al vincolo d'appartenenza
* (k + 1)*(- 2)^2 + (k - 1)*2 + 2*(k - 1)*(- 2) = 0 ≡
≡ 2*(k + 3) = 0 ≡
≡ k = - 3
* Γ(- 3) ≡ x = - (((- 3 + 1)/(- 3 - 1))*y^2 + 2*y) ≡
≡ x = - y^2/2 - 2*y
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b) quelle tangenti alla
* t ≡ x - 2*y - 2 = 0 ≡ y = x/2 - 1 ≡ x = 2*(y + 1)
devono avere nullo il discriminante della risolvente del sistema
* t & Γ(k) ≡ (x = 2*(y + 1)) & (x = - (((k + 1)/(k - 1))*y^2 + 2*y))
risolvente: 2*(y + 1) + (((k + 1)/(k - 1))*y^2 + 2*y)) = 0
discriminante: Δ(k) = 8*(k - 3)/(k - 1)
* Δ(k) = 0 ≡ k = 3
* Γ(3) ≡ x = - (((3 + 1)/(3 - 1))*y^2 + 2*y) ≡
≡ x = - 2*y*(y + 1)
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c) quelle che staccano una corda lunga due sulla semiretta (x = 0) & (y >= 0)
* (x = 0) & (x = - (((k + 1)/(k - 1))*y^2 + 2*y)) & (y >= 0) & (k^2 != 1) ≡
≡ (x = 0) & (y = ((k*|k - 1|)/|k + 1| + |k - 1|/|k + 1| - k + 1)/(k + 1))
da cui
* ((k*|k - 1|)/|k + 1| + |k - 1|/|k + 1| - k + 1)/(k + 1) = 2 ≡
≡ k = 0
* Γ(0) ≡ x = - (((0 + 1)/(0 - 1))*y^2 + 2*y) ≡
≡ x = (y - 2)*y