Problema

@GiorgiaBorrelli

 

Determino le soluzioni di:

x⁴ - 8x² - 9 =0

Posto:

x² = t  - - > t² - 8t - 9 = 0

(t-9)(t+1) = 0 ==> t=9,t= - 1

 

Essendo x² = t, risulta:

x² = - 1  impossibile

x² = 9  ==> x1= - 3,  x2 = 3

 

Abbiamo quindi determinato i due punti A, B

A=( - 3,0)

B=( 3,0)

 

Il punto C sull'asse x è tale che AO= 3*CO. Essendo:

AO= MODULO (xA - xO) = 3

il segmento CO avrà lunghezza pari ad 1 ed essendo xC< 0, le coordinate del punto C sono:

C=( - 1,0)

 

Le coordinate di D, simmetrico di C rispetto all'asse Y, sono 

D=(1, 0)

 

L'equazione della circonferenza di centro O=(0,0) e diametro AB=MODULO (xA - xB) = 9 è:

x² + y² = 9

 

Scriviamo ora le equazioni delle semicirconfere aventi diametri AC, AD e situate nel semipiano positivo delle y. 

 

Semicirconferenza AC:

AC= MODULO (xA - xC) = 2  - - > R=1

Il centro O1 ha coordinate:

O1= [(xA+xC) /2 , 0] = ( - 2,0)

 

L'equazione si ottiene dal sistema:

{y > 0

{ (x+2)² + y² = 1

 

Da cui si ricava:

y= + radice ( - x² - 4x - 3)

 

Semicirconferenza AD:

AD= MODULO (xA - xD) = 4  - - > R=2

Il centro O2 ha coordinate:

O2= [(xA + xD) /2, 0] = ( - 1,0)

 

L'equazione si ottiene dal sistema:

{y>0

{(x+1)² + y² = 4

 

Da cui si ricava:

y= + radice ( - x² - 2x + 3)

 

Con procedura analoga si determinano le equazioni delle semicirconferenze aventi diametri DB e CB, situate nel semipiano delle y negative. 

 

Semicirconferenza DB:

{y< 0

{(x - 2)² + y² = 1

 

Da cui si ricava:

y= - radice ( - x² + 4x - 3)

 

Semicirconferenza CB:

{y<0

{(x-1)² + y² = 4

 

Da cui si ricava:

y= - radice ( - x² + 2x + 3)

 

L'area delimitata dalle quattro semicirconferenze è:

A= pi/2 * (2² - 1²) + pi/2 * (2² - 1²) = 3*pi

 

L'area del cerchio AB è:

A= pi* 3² = 9*pi 

 

Quindi è il triplo della circonferenza superficie delimitata dalle quattro semicirconferenze.