Fascio di parabola

( 1 + b)y - bx^2 + 6bx - 7b + 2 = 0

Ponendo b = -1 per far scomparire y, 

0 + x^2 - 6x + 7 + 2 = 0

x^2 - 6x + 9 = 0

(x - 3)^2 = 0    che é una coppia di rette coincidenti parallele all'asse y 

Raccogliendo b si ha 

y + 2 + b(y - x^2 + 6b - 7) = 0

che per b = 0 dà la retta di equazione y = -2 che avevi già trovato.

Non dispiacerti se chiamo k l'unico parametro del fascio Γ e se semplifico un po' l'equazione
* (1 + b)*y - b*x^2 + 6*b*x + 2 - 7*b = 0 ≡
≡ Γ(k) ≡ k*x^2 - 6*k*x - (k + 1)*y + (7*k - 2) = 0 ≡
≡ k*(x - 3)^2 - (k + 1)*(y + 2) = 0
in modo da esaminare due soli casi particolari invece di quattro.
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Per k = - 1 si ha
* Γ(- 1) ≡ - (x - 3)^2 = 0
che è una parabola degenere sulla retta x = 3 doppia (due parallele coincidenti).
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Per k = 0 si ha
* Γ(0) ≡ - (y + 2) = 0
che, essendo di grado uno e non due, NON E' UNA PARABOLA DEGENERE: è la retta y = - 2.
Tale curva eccezionale (degenere, ma non conica) può presentarsi solo in quelle equazioni parametriche di secondo grado in (x, y) in cui ci sia una particolare configurazione dei parametri che azzeri TUTT'E TRE i termini di grado due.
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NOTA
I libri di testo che classificano la retta semplice come conica degenere propagano un grave errore concettuale in quanto gli storici nomi circonferenza, ellisse, parabola, iperbole sono riservati alle curve che rappresentano equazioni razionali intere di secondo grado in due variabili e, per abbreviazione, le equazioni medesime.
LA PRESENZA DI COEFFICIENTI LETTERALI NON AUTORIZZA NESSUNO ad estendere quei nomi alle equazioni di primo grado ottenute per particolari valori di quelle lettere.