[Risolto] fasci rette

Uso schema e simboli del promemoria sul FASCIO DI RETTE (punti B e C) al link
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/63181/
------------------------------
Data l'equazione del fascio
* r(p) ≡ (p + 1)*x + (2 - 3*p)*y + 3*p - 7 = 0 ≡
≡ (p != 2/3) & (y = ((p + 1)/(3*p - 2))*x + (3*p - 7)/(3*p - 2))
si calcolano
* r(0) ≡ (0 + 1)*x + (2 - 3*0)*y + 3*0 - 7 = 0 ≡ y = (7 - x)/2
* r(1) ≡ (1 + 1)*x + (2 - 3*1)*y + 3*1 - 7 = 0 ≡ y = 2*(x - 2)
che, risultando ortogonali, incidono nel centro C(3, 2) classificando r(p) come fascio proprio.
Nella forma
* (r(k) ≡ y = 2 + k*(x - 3)) oppure (x = 3)
si ha
* (p != 2/3) & (k = (p + 1)/(3*p - 2)) ≡ (k != 1/3) & (p = (2*k + 1)/(3*k - 1))
---------------
a) le rette parallele agli assi cartesiani sono, per definizione di coordinate, le rette coordinate del centro: (x = 3) & (y = 2)
---------------
b) la retta del fascio parallela alla retta di equazione y = x - 3 è quella con egual pendenza k = 1: r(1) ≡ y = x - 1
---------------
c) (v. C4a3: v = yC + k*(u - xC)) la retta passante per il punto A(4, 1) si ricava da
* 1 = 2 + k*(4 - 3) ≡ k = - 1
e risulta
* y = 5 - x
---------------
d) Se "le rette che hanno distanza dall originane uguale a 4/5 radice di 5" vuol dire quelle che distano dall'origine (4/5)*√5 = 4/√5 allora esse sono le tangenti tratte da C(3, 2) alla circonferenza
* Γ ≡ x^2 + y^2 = (4/√5)^2 ≡ x^2 + y^2 - 16/5 = 0
Il calcolo più ovvio è di azzerare il discriminante della risolvente del sistema
* (y = 2 + k*(x - 3)) & (x^2 + y^2 - 16/5 = 0) →
→ x^2 + (2 + k*(x - 3))^2 - 16/5 = 0 ≡
≡ 5*(k^2 + 1)*x^2 + 10*k(2 - 3*k)*x + (45*k^2 - 60*k + 4) = 0 →
→ Δ(k) = - 580*(k - 2/29)*(k - 2)
da cui
* Δ(k) = 0 ≡ (k = 2/29) oppure (k = 2)
* r(2/29) ≡ y = (2/29)*(x + 26)
* r(2) ≡ y = 2*(x - 2)
Vedi ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B%28%282%2F29%29*%28x%2B26%29-y%29*%282*%28x-2%29-y%29%3D0%2Cx%5E2%2By%5E2%3D16%2F5%5D

http://www.wolframalpha.com/input?i=%28%282%2F29%29*%28x%2B26%29-y%29*%282*%28x-2%29-y%29*%28x-1-y%29*%285-x-y%29%3D0

Ciao @stefagnagaga

(k + 1)·x + (2 - 3·k)·y - 7 + 3·k = 0

equivale a scrivere:

k·(x - 3·y + 3) + x + 2·y - 7 = 0

Metto a sistema le rette generatrici:

{x + 2·y - 7 = 0

{x - 3·y + 3 = 0

risolvo ed ottengo il centro proprio del fascio:

[x = 3 ∧ y = 2]

Quindi rette parallele agli assi passanti per tale centro sono : x=3 ed y=2

---------------------------------------------

y = x + 3---->m =1

y - 2 = 1·(x - 3)------> y = x - 1

-------------------------------------------

(k + 1)·4 + (2 - 3·k)·1 - 7 + 3·k = 0

4·k - 1 = 0------> k = 1/4

(1/4 + 1)·x + (2 - 3·(1/4))·y - 7 + 3·(1/4) = 0

5·x/4 + 5·y/4 - 25/4 = 0------> x + y - 5 = 0

----------------------------------------

Non si capisce cosa vuoi dire: 4/5 radice di 5 ?