[Risolto] Fasci di rette con parametri

Sino al punto a.

FASCIO F1

y = k : fascio di rette parallele asse x  (compreso asse x)

FASCIO F2

x - k·y + 2·k = 0 che riscrivo: k·(2 - y) + x = 0

Determino il centro C del fascio 2:

{x = 0

{2 - y = 0

quindi: [x = 0 ∧ y = 2]---> C [0, 2]

Determinazione fascio di parabole

{x - k·y + 2·k = 0

{y = 0

quindi: [x = - 2·k ∧ y = 0]

[- 2·k, 0] : il fascio di parabole passa per tale punto ed è ivi tangente

x = a·y^2 + b·y + c ( fascio da cercare)

passa per il punto determinato sopra:

- 2·k = a·0^2 + b·0 + c---> c = - 2·k

- b/(2·a) = k (l'asse del fascio di parabole cercato è quello del fascio di rette iniziali : y=k)

b/a = - 2·k----> b = - 2·a·k

x = a·y^2 - 2·a·k·y - 2·k

Il fascio di parabole è qui dato nei due parametri a e K: per determinarlo solamente in k dobbiamo scrivere il sistema:

{x = a·y^2 - 2·a·k·y - 2·k

{x - k·y + 2·k = 0

ed impostare su di esso la condizione di tangenza..

Procediamo per sostituzione:  x = k·y - 2·k

a·y^2 - 2·a·k·y - 2·k - (k·y - 2·k) = 0

a·y^2 - y·(2·a·k + k) = 0

Δ = 0 condizione di tangenza che si scrive: (2·a·k + k)^2 = 0

soluzione: a = - 1/2 ∨ k = 0

Il fascio di parabole è:

x = (- 1/2)·y^2 - 2·(- 1/2)·k·y - 2·k

x = - y^2/2 + k·y - 2·k

Studio del fascio di parabole : punti base[x = -2 ∧ y = 2]

lo riscrivo: - y^2/2 + k·y - 2·k - x = 0

(2·k·(y - 2) - 2·x - y^2)/2 = 0

2·k·(y - 2) - 2·x - y^2 = 0

Quindi.

{- 2·x - y^2 = 0

{y - 2 = 0

Risolvo ed ottengo un solo punto base:  [x = -2 ∧ y = 2]

Quindi parabole congruenti in quanto hanno stessa apertura (a=-1/2) e passanti tutte per [-2,2]