[Risolto] Fasci di rette

Esercizio 568
Le rette
* x - y = 0
* 2*x - y - 1 = 0
generano il fascio di equazione
* r(a, b) ≡ a*(x - y) + b*(2*x - y - 1) = 0 ≡
≡ (a + 2*b)*x - (a + b)*y - b = 0
che, avendo parametrici tutt'e tre i coefficienti, ha tre casi particolari.
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1) Per a = - 2*b
* r(- 2*b, b) ≡ y = 1 (quesito b)
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2) Per a = - b
* r(- b, b) ≡ x = 1 (quesito b)
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3) Per b = 0 si ha, banalmente, l'originaria bisettrice dei quadranti dispari.
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Dal momento che i casi 1 e 2 individuano il fascio come proprio e centrato in C(1, 1) si può ridurre il numero di parametri introducendo una distinzione di casi.
Per C(1, 1) passano tutte e sole le rette:
* x = 1, parallela all'asse y;
* r(k) ≡ y = 1 + k*(x - 1), per ogni pendenza k reale.
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RISPOSTE AI QUESITI
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a) La retta per P(2, 2) si ricava dal vincolo d'appartenenza
* 2 = 1 + k*(2 - 1) ≡ k = 1
* r(1) ≡ y = x
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b) Vedi casi 1 e 2.
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c) x + 2*y - 1 = 0 ≡ y = (1 - x)/2 ha pendenza m = - 1/2, quindi
* r(- 1/2) ≡ y = (3 - x)/2
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d) La perpendicolare alla bisettrice dei quadranti dispari ha pendenza m = - 1, quindi
* r(- 1) ≡ y = 2 - x
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e) Le rette distanti dall'origine r = √13/13 = 1/√13 sono le tangenti condotte da C(1, 1) alla circonferenza Γ, luogo dei punti distanti r dall'origine
* Γ ≡ x^2 + y^2 = r^2 ≡ x^2 + y^2 = 1/13 ≡ x^2 + y^2 - 1/13 = 0
Il sistema
* r(k) & Γ ≡ (y = 1 + k*(x - 1)) & (x^2 + y^2 - 1/13 = 0)
ha risolvente
* x^2 + (1 + k*(x - 1))^2 - 1/13 = 0 ≡
≡ 13*(k^2 + 1)*x^2 - 26*(k - 1)*k*x + (13*(k - 1)^2 - 1) = 0
con discriminante
* Δ(k) = - 104*(3*k - 2)*(2*k - 3)
che, per la tangenza, s'annulla per
* (k = 2/3) oppure (k = 3/2)
da cui le rette richieste
* r(2/3) ≡ y = (2*x + 1)/3
* r(3/2) ≡ y = (3 x - 1)/2