[Risolto] Fasci di circonferenze

Quesito a
Il fascio
* Γ(k) ≡ x^2 + y^2 - 2*x + k*y + 2*k = 0 ≡
≡ (x - 1)^2 + (y + k/2)^2 = (k^2 - 8*k + 4)/4
ha
* centri C(1, - k/2)
* asse centrale x = 1
* raggi r(k) = √(k^2 - 8*k + 4)/2
* eventuali punti base, le intersezioni di due Γ(k) qualsiasi
** Γ(- 9) & Γ(+ 9) ≡ ((x - 1)^2 + (y - 9/2)^2 = 157/4) & ((x - 1)^2 + (y + 9/2)^2 = 13/4) ≡
≡ (1 ± i*√3, - 2) ≡
≡ nessun punto base reale e
* asse radicale y = - 2
* intersezioni con l'asse y: y = (- k ± √((k - 8)*k))/2; corda √((k - 8)*k)
* intersezioni con l'asse x: x = 1 ± √(1 - 2*k); corda 2*√(1 - 2*k)
Quesito b
Secondo il segno del radicando di r(k)
* k^2 - 8*k + 4 = (k - 2*(2 - √3))*(k - 2*(2 + √3))
si ha la distinzione di casi
b1) k < 2*(2 - √3): circonferenze reali non degeneri
b2) k = 2*(2 - √3): circonferenza degenere sul centro
b3) 2*(2 - √3) < k < 2*(2 + √3): circonferenze complesse con raggio immaginario
b4) k = 2*(2 - √3): circonferenza degenere sul centro
b5) k > 2*(2 - √3): circonferenze reali non degeneri
Quesito c
* C(1, - k/2) = (1, - 1) ≡ k = 2 →
→ Γ(2) ≡ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = - 2, quindi di tipo b3
Quesito d
* corda 2*√(1 - 2*k) = 6 ≡ k = - 4
* Γ(- 4) ≡ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 13

{x^2 + y^2 - 2·x + k·y + 2·k = 0

{y = 0

per sostituzione:

x^2 + 0^2 - 2·x + k·0 + 2·k = 0

x^2 - 2·x + 2·k = 0

Δ/4 = 1 - 2·k

Χ1 = 1 - √(1 - 2·k)

Χ2 = 1 + √(1 - 2·k)

-----------------------

Χ2 - Χ1 = 2·√(1 - 2·k)

2·√(1 - 2·k) = 6

(2·√(1 - 2·k) = 6)^2

4·(1 - 2·k) = 36

4 - 8·k = 36

k = -4

x^2 + y^2 - 2·x + (-4)·y + 2·(-4) = 0

x^2 + y^2 - 2·x - 4·y - 8 = 0

Svolgo solo d)

ponendo y = 0 nell'equazione del fascio esce la risolvente

x^2 - 2x + 2k = 0

|x2 - x1| = 6

significa

rad(Delta)/|A| = 6

Delta = 36

4 - 4*1*2k = 36

8k = -32

k = -4

e l'equazione richiesta é dunque

x^2 + y^2 - 2x - 4y - 8 = 0