Scrivi l'equazione del fascio generato dalle circonferenze di equazioni $x^2+y^2+2 x=0 \mathrm{e} x^2+y^2-1=0$; individua i punti base, l'asse radicale e le caratteristiche del fascio. Scrivi poi l'equazione della circonferenza del fascio avente il centro sulla retta di equazione $y=x+2$.
$$
\left[\text { Punti base: }\left(-\frac{1}{2}, \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text {; asse radicale: } x=-\frac{1}{2} ; x^2+y^2+4 x+1=0\right]
$$
11881
punti
Livello 2
$Γ(k) : x^2+y^2+2x+k(x^2+y^2-1) = 0 $
Risolviamo il sistema
$\left \{\begin{aligned} x^2+y^2+2x &= 0 \\ x^2+y^2-1 &=0 \end{aligned} \right.$
da cui A(-1/2, -√3 /2) e B((-1/2, √3 /2)
dalle coordinate di A e B segue che l'asse radicale ha equazione x = -1/2.
In alternativa basta porre k = -1 nell'equazione del fascio Γ(k).
$ (1+k)x^2+(1+k)y^2+2x-k=0$
$x^2+y^2 + \frac{2}{1+k}x - \frac{k}{1+k} = 0$
Imponiamo che la circonferenza del fascio abbia centro in C(-2, 0). La variabile y ha coefficiente nullo quindi soddisfa la condizione. Per quanto concerne la variabile x, si dovrà avere (relazione coefficienti, coordinate del centro)
$\frac{-α}{2} = -2$
nel nostro caso
$-\frac{2}{1+k} = -2 \cdot 2$
$ -1 = 2k$ per cui $k = -\frac{1}{2}$
Introducendo questo valore nell'equazione del fascio, si avrà
$x^2+y^2 + 4x+1 = 0$
21742
punti
Livello 6
