Scrivi l'equazione del fascio generato dalle circonferenze di equazioni $x^2+y^2-x-y=0$ e $x^2+y^2-3 x+y+2=0$. Individua i punti base, l'asse radicale e le caratteristiche del fascio. Scrivi poi l'equazione della circonferenza del fascio passante per il punto $P(1,2)$.
[Punto base: $(1,0)$; asse radicale: $x-y-1=0 ; x^2+y^2-2 y-1=0$ ]
11881
punti
Livello 2
$ Γ(k): x^2+y^2-x-y + k(x^2+y^2-3x+y+2) = 0$
Si tratta di risolvere il sistema composto dalle due generatici
$ \left\{\begin{aligned} x^2+y^2-x-y &=0 \\ x^2+y^2-3x+y+2 &= 0 \end{aligned} \right.$
Sottraendo la seconda dalla prima, e semplificando il 2
$ \left\{\begin{aligned} x^2+y^2-x-y &=0 \\ x - y -1 &= 0 \end{aligned} \right.$
Questo sistema ha un'unica soluzione x=1 & y = 0 quindi un unico punto base
T(1,0)
nota 1: un unico punto base, con molteplicità 2, significa che T è il punto di tangenza tra le due circonferenze
nota 2: x-y-1=0 è l'equazione della retta radicale e coincide con la retta tangente alle due circonferenze nel punto T.
come affermato in precedenza
$x - y - 1 = 0$
Introduciamo le coordinate di P(1,2) nell'equazione del fascio e determiniamo il valore di k che rende vera l'uguaglianza
$ Γ(k): 1^2+2^2-1-2+ k(1^2+2^2-3+2+2) = 0$
verificata per $k = -\frac{1}{3}$
L'equazione della circonferenza passante per P(1,2) sarà quindi
$ Γ(-1/3): x^2+y^2-x-y - \frac{1}{3}(x^2+y^2-3x+y+2) = 0$
ovvero
$ x^2+y^2-2y-1=0$
21742
punti
Livello 6
