[Risolto] EUREKA

Fingiamo che il foro ci sia davvero e che il vertice non sia soltanto un punto 

H = 12 i  e R = 3 i 

y(0) = H 

La portata istantanea é dV/dt  con V = V(y(t)) = pi/3 * y * r^2(y) 

dai triangoli simili  r(y)/y = R/H => r(y) = Ry/H

e V = pi/3 * y * R^2/H^2 * y^2 = pi R^2/(3H^2) * y^3 

derivando rispetto a t, per la regola della catena 

dV/dt = dV/dy * dy/dt = pi R^2/(3 H^2) * 3 y^2 dy/dt 

e ne risulta infine il problema di Cauchy 

{ -  pi R^2/H^2 * y^2 * dy/dt = y

{ y(0) = H,     y(T) = 0 

in cui si vuole determinare T. 

Separando le variabili : 

y dy = - H^2/(pi R^2) * dt 

integrando e applicando la condizione iniziale

1/2 y^2 = - H^2/(pi R^2) * t + C 

1/2 H^2 = 0 + C 

C = 1/2 H^2

y^2/2 = H^2/2 - H^2/(pi R^2) t 

y^2 = H^2 - 2 H^2 t/(pi R^2) 

y = H sqrt ( 1 - 2t /(pi R^2) ) 

y = 0 =>   1 - 2T/(pi R^2) = 0

T = pi R^2/2 = 3.1416/2 * 9 s = 14.14 s

E' possibile che sia questo ?

NB - ad essere precisi la dinamica reale vuole che la portata sia 

Q = Sf v = pi d^2/4 * k * sqrt (y)

in cui d é il diametro del foro e k una costante sperimentale che include sqrt (2g)

...l'acqua esce ad una velocità  tale da determinare un effluvio di 4 pollici cubici al secondo.

Il tempo teorico di svuotamento tende ad ∞ : la portata (effluvio) tende via via a diminuire con l'altezza ed il tempo , nella fase finale, si dilata a dismisura !!