Sia T : (Vn, <·,·>v ) → (Wn, <·,·>w ) una applicazione lineare tra due spazi vettoriali euclidei.
Provare che T `e una trasformazione ortogonale se e solo se T preserva la norma.
Sia T : (Vn, <·,·>v ) → (Wn, <·,·>w ) una applicazione lineare tra due spazi vettoriali euclidei.
Provare che T `e una trasformazione ortogonale se e solo se T preserva la norma.
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Livello 1
L'idea centrale dovrebbe risiedere nel fatto che
< w, w > = < T v, T v > = vt Tt T v = vt Q v con Q = Tt T
Ora se T é ortogonale allora T^(-1) = Tt => Tt T = T^(-1) T = I
e vt Q v = vt I v = vt v = < v, v > per cui T conserva la norma.
Viceversa se < w, w > = < v, v >
allora vt Q v = vt v = vt I v => vt (Q - I) v = 0 per ogni v
da cui Q - I = 0 => Tt T = I e T é ortogonale.
Spero che basti.
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Livello 6