Esercizio sulla ret...
 
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Esercizio sulla retta  

  

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Dato il fascio di rette (5+2k)x+(10+2k)y+2-2k=0 : •determina se il fascio di rette è proprio o improprio, •determina l'origine del fascio , •determina l'equazione della retta appartenente al fascio e passante per A (2;2), •determina l'equazione della retta appartenente al fascio parallela all'asse delle x, •determina l'equazione della retta appartenente al fascio e perpendicolare alla retta di equazione : y=5x-2

Grazie !

1 Risposta
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Ciao!

Il primo passo da fare è moltiplicare e portare il fascio nella seguente forma:

$5x+2kx+10y+2ky+2-2k=0$

$5x+10y+2+k(2x+2y-2)=0$

a) Il fascio è proprio se $\frac{a}{b}\neq \frac{a'}{b'} $ ,  dove a e b sono i coefficienti della prima retta mentre a' e b' sono i coefficiente della seconda retta.

Sostituendo i rispettivi valori si ha:

$\frac{5}{10}\neq \frac{2}{2}$ quindi il fascio è proprio.

b) Per trovare l'origine del fascio bisogna fare il sistema fra le due rette e  l'intersezione sarà pari a $C\left(\frac{12}{5};-\frac{7}{5} \right)$.

c) Per trovare l'equazione della retta passante per A(2;2) basta sostituire il punto A nel fascio e trovare il valore di k.

$(5+2k)2+(10+2k)2-2-2k=0$

Si ottiene $k=-\frac{14}{3} $

Trovato il valore di k bisogna sostituirlo nel fascio e si ottiene 

$13x-2y+22=0$

d) Per trovare la retta parallela all'asse x basta porre il coefficiente della x del generico fascio uguale a zero ed ottenere:

$10+2k=0$ da cui $k=-5$

sostituendo tale valore di k nel generico fascio si ottiene la retta cercata.

e) Per stabilire la retta perpendicolare alla retta y=5x-2 bisogna individuare il coefficiente angolare del fascio, sfruttando la condizione di perpendicolarità :

$m=-\frac{5+2k}{10+2k} $

ed uguagliare questo valore al coefficiente angolare della retta data sapendo che cerchiamo una retta perpendicolare si ha:

$m=-\frac{5+2k}{10+2k}=-\frac{1}{5} $

da cui si ottiene $k=-\frac{15}{8} $

sostituendo tale valore nel generico fascio si ottiene la retta richiesta.

 

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