Ciao!
Il primo passo da fare è moltiplicare e portare il fascio nella seguente forma:
$5x+2kx+10y+2ky+2-2k=0$
$5x+10y+2+k(2x+2y-2)=0$
a) Il fascio è proprio se $\frac{a}{b}\neq \frac{a'}{b'} $ , dove a e b sono i coefficienti della prima retta mentre a' e b' sono i coefficiente della seconda retta.
Sostituendo i rispettivi valori si ha:
$\frac{5}{10}\neq \frac{2}{2}$ quindi il fascio è proprio.
b) Per trovare l'origine del fascio bisogna fare il sistema fra le due rette e l'intersezione sarà pari a $C\left(\frac{12}{5};-\frac{7}{5} \right)$.
c) Per trovare l'equazione della retta passante per A(2;2) basta sostituire il punto A nel fascio e trovare il valore di k.
$(5+2k)2+(10+2k)2-2-2k=0$
Si ottiene $k=-\frac{14}{3} $
Trovato il valore di k bisogna sostituirlo nel fascio e si ottiene
$13x-2y+22=0$
d) Per trovare la retta parallela all'asse x basta porre il coefficiente della x del generico fascio uguale a zero ed ottenere:
$10+2k=0$ da cui $k=-5$
sostituendo tale valore di k nel generico fascio si ottiene la retta cercata.
e) Per stabilire la retta perpendicolare alla retta y=5x-2 bisogna individuare il coefficiente angolare del fascio, sfruttando la condizione di perpendicolarità :
$m=-\frac{5+2k}{10+2k} $
ed uguagliare questo valore al coefficiente angolare della retta data sapendo che cerchiamo una retta perpendicolare si ha:
$m=-\frac{5+2k}{10+2k}=-\frac{1}{5} $
da cui si ottiene $k=-\frac{15}{8} $
sostituendo tale valore nel generico fascio si ottiene la retta richiesta.