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[Risolto] Esercizio sulla retta

  

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Dato il fascio di rette (5+2k)x+(10+2k)y+2-2k=0 : •determina se il fascio di rette è proprio o improprio, •determina l'origine del fascio , •determina l'equazione della retta appartenente al fascio e passante per A (2;2), •determina l'equazione della retta appartenente al fascio parallela all'asse delle x, •determina l'equazione della retta appartenente al fascio e perpendicolare alla retta di equazione : y=5x-2

Grazie !

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(5 + 2·k)·x + (10 + 2·k)·y + 2 - 2·k = 0

sostituisco a k=0

(5 + 2·0)·x + (10 + 2·0)·y + 2 - 2·0 = 0------>5·x + 10·y + 2 = 0

sostituisco a k=1

(5 + 2·1)·x + (10 + 2·1)·y + 2 - 2·1 = 0----->7·x + 12·y = 0

Le rette non sono parallele. Risolvo il sistema:

{5·x + 10·y + 2 = 0

{7·x + 12·y = 0

ottengo: [x = 12/5 ∧ y = - 7/5] ossia [x = 2.4 ∧ y = -1.4] centro del fascio di rette: FASCIO PROPRIO

Retta del fascio per 2 punti:

[2.4, -1.4]

[2, 2]

(y + 1.4)/(x - 2.4) = (2 + 1.4)/(2 - 2.4) --------> y = 19 - 17·x/2

dal fascio di rette dato:

(5 + 2·k)·x + (10 + 2·k)·y + 2 - 2·k = 0 deve scomparire il primo termine (lo facciamo come verifica dopo)

Dovendo il fascio passare dal suo centro deve essere y = - 7/5

Verifica:

5+2k=0------>k = - 5/2

sostituisco (5 + 2·(- 5/2))·x + (10 + 2·(- 5/2))·y + 2 - 2·(- 5/2) = 0

5·y + 7 = 0-----> y = - 7/5

Ultima domanda : retta del fascio perpendicolare a: y = 5·x - 2

ha la forma y = - 1/5·x + q

passa per il centro del fascio

-1.4 = - 1/5·2.4 + q--------> q = - 23/25 retta: y = - x/5 - 23/25



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Ciao!

Il primo passo da fare è moltiplicare e portare il fascio nella seguente forma:

$5x+2kx+10y+2ky+2-2k=0$

$5x+10y+2+k(2x+2y-2)=0$

a) Il fascio è proprio se $\frac{a}{b}\neq \frac{a'}{b'} $ ,  dove a e b sono i coefficienti della prima retta mentre a' e b' sono i coefficiente della seconda retta.

Sostituendo i rispettivi valori si ha:

$\frac{5}{10}\neq \frac{2}{2}$ quindi il fascio è proprio.

b) Per trovare l'origine del fascio bisogna fare il sistema fra le due rette e  l'intersezione sarà pari a $C\left(\frac{12}{5};-\frac{7}{5} \right)$.

c) Per trovare l'equazione della retta passante per A(2;2) basta sostituire il punto A nel fascio e trovare il valore di k.

$(5+2k)2+(10+2k)2-2-2k=0$

Si ottiene $k=-\frac{14}{3} $

Trovato il valore di k bisogna sostituirlo nel fascio e si ottiene 

$13x-2y+22=0$

d) Per trovare la retta parallela all'asse x basta porre il coefficiente della x del generico fascio uguale a zero ed ottenere:

$10+2k=0$ da cui $k=-5$

sostituendo tale valore di k nel generico fascio si ottiene la retta cercata.

e) Per stabilire la retta perpendicolare alla retta y=5x-2 bisogna individuare il coefficiente angolare del fascio, sfruttando la condizione di perpendicolarità :

$m=-\frac{5+2k}{10+2k} $

ed uguagliare questo valore al coefficiente angolare della retta data sapendo che cerchiamo una retta perpendicolare si ha:

$m=-\frac{5+2k}{10+2k}=-\frac{1}{5} $

da cui si ottiene $k=-\frac{15}{8} $

sostituendo tale valore nel generico fascio si ottiene la retta richiesta.

 



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SOS Matematica

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