esercizio sulla parabola

Hai già determinato le rette t ed n?
Devi imporre quanto c’è scritto in figura.

Oltre al metodo classico proposto dal collega  @eidosm, puoi applicare le formule di sdoppiamento

per trovare la tangente in A(4,0) alla funzione y = -x^2+4x:

y----> (y+0)/2 ;    x----> (x+4)/2;     x^2------>4x

ottieni quindi: y/2 =-4x+4(x+4)/2----->  y =-8x+(4x+16)------> y = -4x+16

La normale in A: y=mx+q   con m=1/4 ----->y=1/4x+q

Quindi:0=1/4*4+q----> q=-1 quindi y=1/4*x-1

Fai poi quanto indicato da @eidosm.

Risolvendo -x^2 + 4x = 0 e scartando l'origine, trovi A = (4;0)

Per la tangente in A puoi imporre che la risolvente del sistema

{ y - 0 = m(x - 4)

{ y = - x^2 + 4x

abbia delta = 0

- x^2 + 4x = mx - 4m

x^2 + (m-4) x - 4m = 0

D = (m - 4)^2 + 16 m = 0

m^2 - 8m + 16m + 16 = 0

m^2 + 8m + 16 = 0

(m + 4)^2 = 0

m = -4

tangente : y = -4(x - 4) => 4x + y - 16 = 0

normale : y = 1/4 (x - 4) => 1/4 x - y - 1 = 0 => x - 4y - 4 = 0

Essendo 0 <= a <= 4, risulta P = (a; -a^2 + 4a)

e quindi se ne deduce la risolvente

|4a + (-a^2 + 4a) - 16|/sqrt(16 + 1) + |a - 4(-a^2 + 4a) - 4|/sqrt(1+16) = 22/sqrt(17)

| - a^2 + 8a - 16| + |4a^2 - 15a - 4| = 22

(a - 4)^2 + |4a^2 - 15a - 4| = 22

4a^2 - 15a - 4 >= 0 negli intervalli esterni a

a1,2 = (15 +- rad(225 + 64))/8 = (15 +- 17)/8 = -1/4 e 4

Poiché a invece varia fra 0 e 4, si deve cambiare il segno trovando infine

a^2 - 8a + 16 - 4a^2 + 15a + 4 - 22 = 0

-3a^2 + 7a - 2 = 0

3a^2 - 7a + 2 = 0

a = (7 +- rad(49 - 24))/6 = (7 +- 5)/6 = 1/3 e 2

entrambi compresi in ]0;4[

Troviamo quindi i punti

P1 = (1/3; -1/9 + 4/3) = (1/3; 11/9)

P2 = (2; -4 + 8) = (2;4)

Il mio browser non visualizza i caratteri Unicode non UTF8, perciò non riesco a vedere l'equazione della parabola.
Se aggiorni la domanda (usando caratteri di tastiera, p.es.: y = 3*x - x^2) te la spiego domani a metà mattinata (si tratta solo di tracciare una circonferenza e una retta). Adesso (22:35) devo fare le terapie di fine giornata e andare a dormire.

La parabola Γ di equazione
* y = - x^2 + 4*x ≡
≡ y = (4 - x)*x ≡
≡ y = 4 - (x - 2)^2
ha
* asse di simmetria x = 2
* vertice V(2, 4)
* zeri O(0, 0) oppure A(4, 0)
* apertura a = - 1 < 0, quindi concavità rivolta verso y < 0
* pendenza m(x) = 2*(2 - x)
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Per il punto A(4, 0) passano tutte e sole le rette:
* x = 4, parallela all'asse y;
* y = k*(x - 4), per ogni pendenza k reale.
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Nel punto A(4, 0) la parabola Γ ha pendenza
* m(4) = 2*(2 - 4) = - 4
quindi le rette richieste hanno pendenze: t, k = - 4; n, k = 1/4.
* t ≡ y = 4*(4 - x)
* n ≡ y = (x - 4)/4
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L'arco di Γ fra gli zeri OA è quello contenente il vertice, nel primo quadrante.
Tutti i punti P(x, y) del primo quadrante tali che la somma delle distanze da t e da n sia una costante s > 0 giacciono sul segmento che congiunge i punti T(x, 4*(4 - x)) su t ed N(x, (x - 4)/4) su n a distanza s da A.
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La distanza d = |AP| fra i punti A(4, 0) e P(x, y) si trova applicando il teorema di Pitagora alle differenze fra le loro coordinate omologhe
* d = |AP| = √((x - 4)^2 + (y - 0)^2)
quindi la condizione d = 22/√17 definisce l'insieme di tutti e soli i possibili P utili a determinare T ed N
* d = √((x - 4)^2 + y^2) = 22/√17 ≡
≡ (x - 4)^2 + y^2 = (22/√17)^2 = 484/17
da cui, sostituendo ad y le corrispondenti coordinate dei punti T ed N, e tenendo conto che per avere P sull'arco OA T dev'essere nel semipiano y > 0 ed N in quello y < 0, si ottiene
* t: (x - 4)^2 + (4*(4 - x))^2 = (22/√17)^2 = 484/17 ≡ T(46/17, 88/17)
* n: (x - 4)^2 + ((x - 4)/4)^2 = (22/√17)^2 = 484/17 ≡ N(- 20/17, - 22/17)
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Il segmento NT è definito dalla retta NT e dall'intervallo "x in [xN, xT]"
* NT ≡ (y = (5*x + 2)/3) & (- 20/17 <= x <= 46/17)
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E FINALMENTE il punto P richiesto si trova come intersezione fra Γ ed NT
* (y = 4 - (x - 2)^2) & (y = (5*x + 2)/3) & (- 20/17 <= x <= 46/17) ≡
≡ P1(1/3, 11/9) oppure P2(2, 4)
e, ooopla!, DUE AL PREZZO DI UNO (ed è stato un bel prezzo, con i giri di parole necessarii ad usare una circonferenza senza nominarla!).