[Risolto] Esercizio sulla parabola

ATTENZIONE: i risultati hanno una forma così contorta e valori così strani da farmi pensare d'avere sbagliato qualche calcolo da qualche parte.
Soprattutto perché, con i miei numeri, "... la parabola, avente la concavità rivolta verso l'alto, con l'asse delle x" non ci si vede proprio.
Perciò guarda la procedura risolutiva, ma i risultati ricàlcolali da te!
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Le parabole Γ ad asse di simmetria parallelo all'asse y
* Γ ≡ y = a*x^2 + b*x + c
si vedono meglio nella forma
* Γ ≡ y = yV + a*(x - xV)^2
scritta in termini dell'apertura "a" e delle coordinate del vertice V(xV, yV).
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L'equazione si risolve per scomposizione
* p(t) = t^4 - 11*t^3 + 25*t^2 - 11*t + 24 = 0 ≡
≡ (t^2 + 1)*(t - 3)*(t - 8) = 0 ≡
≡ (t^2 + 1 = 0) oppure (t - 3 = 0) oppure (t - 8 = 0) ≡
≡ (t = ± i) oppure (t = 3) oppure (t = 8)
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Con
* V(3, 9)
si ha
* Γ ≡ y = 9 + a*(x - 3)^2 ≡
≡ y = a*x^2 - 6*a*x + 9*(a + 1)
cioè basta sviluppare per ottenere due dei tre parametri
* (b, c) = (- 6*a, 9*(a + 1))
mentre il terzo si trae dalla condizione sulla corda.
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La retta
* s ≡ x - y - 10 = 0 ≡ y = x - 10 ≡ x = y + 10
interseca Γ nelle soluzioni del sistema
* s & Γ ≡ (x = y + 10) & (y = 9 + a*(x - 3)^2) ≡
≡ (x = y + 10) & (y = 9 + a*(y + 10 - 3)^2) ≡
≡ (x = y + 10) & (y = (- 14*a ± √(1 - 64*a) + 1)/(2*a)) ≡
≡ A((- 14*a - √(1 - 64*a) + 1)/(2*a) + 10, (- 14*a - √(1 - 64*a) + 1)/(2*a))
oppure
≡ B((- 14*a + √(1 - 64*a) + 1)/(2*a) + 10, (- 14*a + √(1 - 64*a) + 1)/(2*a))
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Poiché la corda AB dev'essere lunga 3*√2, per la distanza fra A e B si ha
* |AB| = d(a) = √((2 - 128*a)/a^2) = 3*√2 ≡
≡ a = (- 32 ± √1033)/9 ≡
≡ (a1 = (- 32 - √1033)/9 ~= - 7.13) oppure (a2 = (- 32 + √1033)/9 ~= 0.0156)
da cui le due parabole
* Γ1 ≡ y = 9 + ((- 32 - √1033)/9)*(x - 3)^2
* Γ2 ≡ y = 9 + ((- 32 + √1033)/9)*(x - 3)^2
Vedi ai link
parabola concava in basso
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D9%2B%28%28-32-%E2%88%9A1033%29%2F9%29*%28x-3%29%5E2%5D
parabola concava in alto
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D9%2B%28%28-32%2B%E2%88%9A1033%29%2F9%29*%28x-3%29%5E2%5D
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QUANDO AVRAI RIFATTO I CALCOLI PER BENE
L'area S del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate (v. http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo#Formule_analitiche )
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
Se i tre punti sono allineati l'area del triangolo che li ha per vertici è zero.

Con Ruffini viene la soluzione x=3, poi, poichè avevo come scomposizione

(t-3)(t^3-8t^2+t-8)=0

ho fatto un raccoglimento parziale ed ho ottenuto:

(t-8)(t^2+1)=0

che ha come unica soluzione t=8; quindi la soluzione minore è x=3

le coordinate del vertice sono (3;9)

 

per la seconda parte :

il vertice mi dà 2 condizioni :

-b/2a = 3 ; poi si può imporre il passaggio per il vertice (che è un punto della parabola):

9=9a+3b+c

risolvendo il sistema ottieni (in funzione di a) :

b=-6a ; c= 9a+9

per la terza condizione devi intersecare la parabola con la retta e trovare i punti in comune, quindi porre la distanza tra questi due punti =3rad2

intersecando(sostituisci nell'equazione della parabola y = x-10) ottieni :

x=(-b+1+-rad(b^2-2b+1-4ac-40a))/2a

sostituisci i valori di b e c prima trovati, otterrai:

x=(6a+1+-rad(-44a+1))/2a

tenendo presente che era : y=x-10, le ordinate dei due punti saranno = alle due ascisse -10 :

y=(-14a+1+-rad(-44a+1))/2a

la distanza AB è :

(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(3rad2)^2

riduco allo stesso denominatore ed elimino i termini opposti:

(rad(-44a+1)/a)^2+ (rad(-44a+1)/a)^2=18

le soluzioni non vengono molto belle, ma per ora non ho trovato errori