[Risolto] Esercizio sulla circonferenza di geometria analitica

Il raggio vettore è perpendicolare alla corda AB (coefficiente angolare mAB=7) nel suo punto medio M( - 1/4; 1/4)

L'equazione del raggio vettore passante per M è:

y-(1/4)= (-1/7)*(x+1/4)

 

Sappiamo inoltre che il centro della circonferenza è sull'asse x (y=0)

Mettendo a sistema le equazioni delle due rette determino il centro C

{y=0

{y = (-1/7)*x + 3/14

Quindi: C=(3/2;0)

R= CA = radice (9/4 + 4) = 5/2

 

L'equazione della circonferenza è quindi 

(x-xC)²+(y-yC)²=R²

x²+y²-3x-4=0

 

D=(4;5)  (intersezione asse x+ con la circonferenza) 

Il raggio vettore è perpendicolare alla retta tangente la conica nel punto di tangenza. Quindi la retta tangente in D è la retta verticale x=4 essendo il centro della circonferenza sulla retta y=0

La retta tangente in A si determina utilizzando ad esempio le formule di sdoppiamento

2y - 3/2*x - 4 = 0

y=(3/4)*x + 2

 

Quindi il punto P=(4;5)

 

La superficie del quadrilatero è la somma di due triangoli rettangoli congruenti

S= R*5 = (5/2)*5 = 25/2

Ogni circonferenza Γ che passa per i punti A(0, 2) e B(- 1/2, - 3/2) ha il centro C(x, y) sull'asse del segmento AB, equidistante da entrambi, e per raggio la comune distanza
* |CA|^2 = x^2 + (y - 2)^2
* |CB|^2 = (x + 1/2)^2 + (y + 3/2)^2
* |CA|^2 = |CB|^2 ≡ x^2 + (y - 2)^2 = (x + 1/2)^2 + (y + 3/2)^2 ≡
≡ y = (3 - 2*x)/14
Quindi C(x, (3 - 2*x)/14).
Ma vale anche "ha il centro C sull'asse x", cioè (3 - 2*x)/14 = 0 ≡ x = 3/2
da cui
* C(3/2, 0)
* |CA|^2 = r^2 = (3/2)^2 + (0 - 2)^2 = 25/4
* Γ ≡ (x - 3/2)^2 + y^2 = 25/4 ≡ x^2 + y^2 - 3*x - 4 = 0
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"intersezione della circonferenza con il semiasse positivo delle ascisse"
* ((x - 3/2)^2 + y^2 = 25/4) & (y = 0) & (x > 0) ≡ D(4, 0)
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Quindi D(4, 0) è estremo di un diametro che giace sull'asse x e la retta tangente Γ in D è
* x = 4
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La tangente in A(0, 2) è la sua polare p rispetto a Γ
* p ≡ x*0 + y*2 - 3*(x + 0)/2 - 4 = 0 ≡ y = (3*x + 8)/4
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* (x = 4) & (y = (3*x + 8)/4) ≡ P(4, 5)
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Come calcolare l'area del quadrilatero APDC dipende dal tipo, che si vede dai vertici
* A(0, 2), P(4, 5), D(4, 0), C(3/2, 0)
osservando che CA e CD sono raggi di Γ e che PA e PT sono segmenti delle tangenti tirate da P.
Quindi APDC è un aquilone la cui area S è il semiprodotto delle diagonali
* S = |AD|*|CP|/2 = 25/2