[Risolto] Esercizio sul piano

ti fornisco come cominciare:

il piano parallelo al piano $xz$ passante per $A(1,3,1)$ ha equazione $y=3$ (i piani paralleli al piano $xz$ hanno equazione $y=k$, poi deve passare per $A$, quindi...).

@Rebecca vedo che non riesci ad andare avanti. Prendiamo il versore dell'asse $x$, ovvero $(1,0,0)$. Un piano qualunque, per essere parallelo a tale asse, deve avere un vettore perpendicolare al piano stesso che sia perpendicolare a $(1,0,0)$, ovvero che il prodotto scalare con $(1,0,0)$ sia nullo.

Tale vettore è facilmente individuabile (si fa a mente): $(0,k,h)$ con $k,h$ parametri da individuare.

Quindi il piano generico parallelo all'asse $x$ ha equazione:

$ky+hz+d=0$

Adesso devi imporre il passaggio per i punti $(3,4,3)$ e $(-3,2,5)$:

$\begin{cases} 4k+3h+d &=0  \\ 2k+5h+d &= 0\end{cases}$

risolvendo risulta il piano

$y+z-7=0$

quindi il punto deve appartenere a questo piano e al piano $y=3$ quindi soltanto adesso metti a sistema 

$\begin{cases} y+z-7 &=0  \\ y &= 3\end{cases}$

da cui ricavi $z=4$

dato che a questo punto hai sia la $y$ che la $z$ del tuo punto e che $\sqrt{y^2+z^2}=5$ quindi la distanza è già quella giusta, si deduce che la $x$ del punto cercato è $0$ e il punto pertanto risulta:

$P=(0,3,4)$