[Risolto] Esercizio sul l’iperbole

@gf

Ciao, di nuovo.

x^2 - 4·y^2 = 9

Metto a sistema:

{x^2 - 4·y^2 = 9  (l'iperbole)

{y = m·(x - 9/5) (fascio di rette per P(9/5,0)

Risolvo per sostituzione:

y = m·x - 9·m/5   quindi inserisco nella prima:

x^2 - 4·(m·x - 9·m/5)^2 = 9

x^2 - 4·(m^2·x^2 - 18·m^2·x/5 + 81·m^2/25) - 9 = 0

x^2·(1 - 4·m^2) + 72·m^2·x/5 - 9·(36·m^2 + 25)/25 = 0

impongo le condizioni di tangenza:

Δ = 0

(72·m^2/5)^2 + 4·(1 - 4·m^2)·9/25·(36·m^2 + 25) = 0

5184·m^4/25 + (- 5184·m^4/25 - 2304·m^2/25 + 36) = 0

36 - 2304·m^2/25 = 0---------> m = - 5/8 ∨ m = 5/8

2 rette tangenti:

y = (- 5/8)·x - 9·(- 5/8)/5----------> y = 9/8 - 5·x/8 cioè:         5x+8y-9=0

y = 5/8·x - 9·(5/8)/5--------->y = 5·x/8 - 9/8   cioè:   5x-8y-9=0

 

 

 

 

 

 

A) Scrivere l'iperbole in forma normale canonica.
* Γ ≡ x^2 - 4*y^2 = 9 ≡ x^2 - 4*y^2 - 9 = 0
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B) Scrivere "per sdoppiamento" la polare p del polo P(9/5, 0) rispetto a Γ.
* Γ ≡ x^2 - 4*y^2 - 9 = 0 →
→ p ≡ (9/5)*x - 4*0*y - 9 = 0 ≡ x = 5
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C) Individuare i punti di tangenza come soluzione del sistema p & Γ.
* (x = 5) & (x^2 - 4*y^2 = 9) ≡ T(5, ± 2)
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D) Le tangenti richieste sono le congiungenti
* t1 ≡ PT1 ≡ y = (9 - 5*x)/8
* t2 ≡ PT2 ≡ y = (5*x - 9)/8
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E) Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bx%5E2-4*y%5E2%3D9%2C%28x-5%29*%28-y%2B%289-5*x%29%2F8%29*%28-y%2B%285*x-9%29%2F8%29%3D0%5Dx%3D-8to12%2Cy%3D-6to6