[Risolto] Esercizio sugli insiemi

Per provare che i due insiemi $A$ e $(A \smallsetminus B)\cup (A\cap B)$ sono uguali possiamo dimostrare che $A \subseteq (A\smallsetminus B)\cup (A\cap B)$ e che $(A\smallsetminus B)\cup (A\cap B) \subseteq A$.

Facciamo vedere intanto che si ha $(A\smallsetminus B)\cup (A\cap B) \subseteq A$. Se $x\in (A\smallsetminus B)\cup (A\cap B)$ allora possono accadere due casi: $x\in A\smallsetminus B$ oppure che $x\in A\cap B$. Se $x \in A\smallsetminus B$ allora $x \in A$ e $x \notin B$, quindi sicuramente $x$ è un elemento di $A$. Mentre se $x \in A\cap B$ allora $x \in A$ e $x \in B$ pertanto anche in questo caso $x$ è un elemento di $A$. Si è verificato quindi che $(A\smallsetminus B)\cup (A\cap B) \subseteq A$.

Dimostriamo ora che $A \subseteq (A\smallsetminus B)\cup (A\cap B)$. Se $x \in A$, può appartenere a $B$ oppure no. Distinguiamo i due casi. Se $x \in B$, dato che $x \in A$, si ha che $x \in A\cap B$. Se $x \notin B$, dato che $x \in A$, allora si ha che $x \in A\smallsetminus B$. Abbiamo quindi dimostrato che $A \subseteq (A\smallsetminus B)\cup (A\cap B)$. Con ciò possiamo concludere che $A = (A \smallsetminus B)\cup (A\cap B)$.