Si considerino due pendoli appesi per lo stesso punto, entrambi di lunghezza l = 1 di masse m1 ed m2. I pendoli oscillano in un piano verticale xOy soggetti all’accelerazione g = (0, −1). I due pendoli vengono sollevati rispettivamente di piccoli angoli −θ1 < 0 e θ2 > 0 rispetto alla verticale e rilasciati da fermi al tempo t = 0. Specificare motivando la risposta a quale istante ed in che posizione avviene l’urto tra le due masse dei pendoli. Calcolare il rapporto m1/m2 affinch ́e le due masse si fermino dopo un urto completamente anelastico e l’energia persa in funzione di m2 in tale eventualita`. Suggerimento: Usare l’approssimazione per piccoli angoli 1 − cos θ ≃ θ2/2.
Per quanto riguarda la seconda parte, consideriamo come livello zero dell'energia potenziale, il punto più in basso dell'oscillazione.
Considera il seguente disegno:
Consideriamo la prima sferetta. All'inizio essa si trova ad altezza
$ h_1 = l - l cos\theta_1 = 1-cos\theta_1 \approx \frac{\theta_1^2}{2}$
Al momento dell'urto si trova invece ad un'altezza:
$ h = 1-cos(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}) \approx \frac{(\theta_1+\theta_2)^2}{4}$
Un istante prima dell'urto l'energia si è conservata tra l'istante in cui era ferma ad altezza $h_1$ e l'istante in cui si trova ad altezza $h$ con velocità $v$:
$ U(h_1) = K + U(h)$
dunque la sua energia cinetica, prima dell'urto, è:
$K_1 = U(h_1) - U(h) = m_1 g \frac{\theta_1^2}{2} - m_1g \frac{(\theta_1+\theta_2)^2}{4} = m_1 g \frac{2\theta_1^2-\theta_1^2-\theta_2^2 -2\theta_1\theta_2}{4} = m_1 g \frac{\theta_1^2-\theta_2^2 -2\theta_1\theta_2}{4}$
Analogamente, la seconda sferetta avrà un'energia cinetica pari a:
$K_2 = U(h_2) - U(h) = m_2 g \frac{\theta_2^2}{2} - m_2g \frac{(\theta_1+\theta_2)^2}{4} = m_2 g \frac{2\theta_2^2-\theta_1^2-\theta_2^2 -2\theta_1\theta_2}{4}m_2 g \frac{\theta_2^2-\theta_1^2 -2\theta_1\theta_2}{4} $
Ricaviamo le velocità delle due sferette:
$\frac{1}{2} m_1 v_1^2 = m_1 g \frac{\theta_1^2-\theta_2^2 -2\theta_1\theta_2}{4}$