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[Risolto] Esercizio su due pendoli

  

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Si considerino due pendoli appesi per lo stesso punto, entrambi di lunghezza l = 1 di masse m1 ed m2. I pendoli oscillano in un piano verticale xOy soggetti all’accelerazione g = (0, −1). I due pendoli vengono sollevati rispettivamente di piccoli angoli −θ1 < 0 e θ2 > 0 rispetto alla verticale e rilasciati da fermi al tempo t = 0. Specificare motivando la risposta a quale istante ed in che posizione avviene l’urto tra le due masse dei pendoli. Calcolare il rapporto m1/m2 affinch ́e le due masse si fermino dopo un urto completamente anelastico e l’energia persa in funzione di m2 in tale eventualita`.
Suggerimento: Usare l’approssimazione per piccoli angoli 1 − cos θ ≃ θ2/2.

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Le leggi orarie dei due pendoli sono:

$ s_1 (t) = cos(\omega t -\theta_1) $

$ s_2(t) = cos(\omega t + \theta_2)$

dove la velocità angolare è uguale perché è indipendente dalla massa. 

Il punto di incontro è dunque per:

$ cos(\omega t -\theta_1)  = cos(\omega t +\theta_2)$

da cui otteniamo le due soluzioni: 

$ \omega t -\theta_1  = \pm (\omega t +\theta_2)$

Prendendo il segno positivo:

$ \omega t -\theta_1  = \omega t +\theta_2$   ->    $-\theta_1 = \theta_2$ non accettabile

Prendendo il segno negativo:

$ \omega t -\theta_1  = - \omega t - \theta_2$   -> $2\omega t = \theta_1 - \theta_2$

Sapendo che:

$\omega = \frac{2\pi}{T} = \sqrt{g/l} = 1$

tteniamo l'istante a cui si incontrano:

$ t = \frac{\theta_1 - \theta_2}{2}$

La posizione è dunque:

$s (t) = cos(\omega t -\theta_1) = cos(\frac{\theta_1 - \theta_2}{2} - \theta_1) = cos(\frac{-\theta_2-\theta_1}{2}) = cos(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})$

Per quanto riguarda la seconda parte, consideriamo come livello zero dell'energia potenziale, il punto più in basso dell'oscillazione. 

Considera il seguente disegno:

image

Consideriamo la prima sferetta. All'inizio essa si trova ad altezza

$ h_1 = l - l cos\theta_1 = 1-cos\theta_1 \approx \frac{\theta_1^2}{2}$

Al momento dell'urto si trova invece ad un'altezza:

$ h = 1-cos(\frac{\theta_1+\theta_2}{2}) \approx \frac{(\theta_1+\theta_2)^2}{4}$

Un istante prima dell'urto l'energia si è conservata tra l'istante in cui era ferma ad altezza $h_1$ e l'istante in cui si trova ad altezza $h$ con velocità $v$:

$ U(h_1) = K + U(h)$

dunque la sua energia cinetica, prima dell'urto, è:

$K_1 = U(h_1) - U(h) = m_1 g \frac{\theta_1^2}{2} - m_1g \frac{(\theta_1+\theta_2)^2}{4} = m_1 g \frac{2\theta_1^2-\theta_1^2-\theta_2^2 -2\theta_1\theta_2}{4} = m_1 g \frac{\theta_1^2-\theta_2^2 -2\theta_1\theta_2}{4}$

Analogamente, la seconda sferetta avrà un'energia cinetica pari a:

$K_2 = U(h_2) - U(h) = m_2 g \frac{\theta_2^2}{2} - m_2g \frac{(\theta_1+\theta_2)^2}{4} = m_2 g \frac{2\theta_2^2-\theta_1^2-\theta_2^2 -2\theta_1\theta_2}{4}m_2 g \frac{\theta_2^2-\theta_1^2 -2\theta_1\theta_2}{4} $

Ricaviamo le velocità delle due sferette:

$\frac{1}{2} m_1 v_1^2 = m_1 g \frac{\theta_1^2-\theta_2^2 -2\theta_1\theta_2}{4}$

$v_1 = \sqrt{g \frac{\theta_1^2-\theta_2^2 -2\theta_1\theta_2}{2}}$

$v_2 = \sqrt{g \frac{\theta_2^2-\theta_1^2 -2\theta_1\theta_2}{2}}$

Dato che le masse dopo l'urto devono fermarsi, abbiamo:

$ m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$

cioé:

$ m_1 v_1 = m_2 v_2$

$ \frac{m_1}{m_2} = \frac{v_2}{v_1} = \frac{\sqrt{g \frac{\theta_2^2-\theta_1^2 -2\theta_1\theta_2}{2}}}{\sqrt{g \frac{\theta_1^2-\theta_2^2 -2\theta_1\theta_2}{2}}} = \sqrt{\frac{\theta_2^2-\theta_1^2 -2\theta_1\theta_2}{\theta_1^2-\theta_2^2 -2\theta_1\theta_2}}$ 

L'energia persa dalla massa 2 è quella cinetica.

 

Noemi

 

 

 

 



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