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[Risolto] Esercizio su distribuzione Gaussiana e campionamento

  

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In un campione formato da 50 lavoratori si è rilevato che il tempo impiegato per effettuare un certo lavoro è stato in media di 20 minuti, con una deviazione standard di 5 minuti. Dopo un mese, in seguito a una modifica del processo produttivo, è stata effettuata la stessa rilevazione su un campione con uguale numerosità e si è rilevato che il tempo medio è stato di 19 minuti, con una deviazione standard di 3 minuti. Determina i due intervalli di confidenza a livello del 95% e prova a formulare un’ipotesi sull’efficacia della modifica introdotta.

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$ X_1 \approx \mathcal{N}(\mu= 20, \sigma^2 = 5^2) $
$ X_2 \approx \mathcal{N}(19, 3^2) $

Per calcolare un intervallo di confidenza a livello $ 0.95 $ dobbiamo calcolare i due valori $a,b $ tali che $ \mathbf{P}(a \leq X \leq b) = 0.95 $ cioè la probabilità che $ X $ stia in $ [a,b] $ è $ 0.95 $.
Prima di tutto dobbiamo standardizzare la normale:
$ Z = \frac{X-\mu}{\sigma} $
la normale standard è simmetrica, quindi i due valori $ a,b $ saranno opposti e l'intervallo è quindi $ [-k,k] $.
Allora $ \mathbf{P}(-k \leq Z \leq k) = 0.95 $ quindi usando le tavole di distribuzione troviamo che $ k = z_{0.05} = 2.57 $
$ -2.57 \leq Z\leq 2.57 $
$ -2.57 \leq \frac{X-\mu}{\sigma} \leq 2.57 $
$ -2.57\sigma \leq X-\mu \leq 2.57\sigma $
$\mu -2.57\sigma \leq X\leq \mu + 2.57\sigma $
Quindi l'intervallo a $ 0.95 $ è $ [\mu -2.57\sigma; \mu + 2.57\sigma ] $.
Calcoliamo: per $ X_1 $ è $ [7.15; 32.85] $
per $ X_2 $ è $ [11.29; 26.71] $

Quanto è risultata efficace la modifica? Potremmo dire che è risultata abbastanza efficace, perché ha accorciato il tempo massimo di realizzazione, ma ha anche alzato il tempo minimo di realizzazione. L'aumento del tempo minimo è di soli $ 4 $ punti, mentre la diminuzione del tempo massimo è di $ 6 $ punti. Tutto sommato, quindi, la modifica è stata utile anche se magari non drasticamente.

@pazzouomo ok, ti ringrazio per l'aiuto! 

 




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$n=50$

$xm_{1}=20$   $\varsigma_{1}=5$

$xm_{2}=19$  $\varsigma_{2}=3$

Nel 95% dei casi:

$xm-1,96\frac{\varsigma}{\sqrt{n}}\leq \mu_{1}< xm+1,96\frac{\varsigma}{\sqrt{n}}$

1)

$20-1,96\frac{5}{\sqrt{50}}\leq \mu_{1}< 20-1,96\frac{5}{\sqrt{50}}$

$20-1,39\leq\mu_{1}<20+1,39$

$18,61\leq\mu_{1}<21,39$

2)

$19-1,96\frac{3}{\sqrt{50}}\leq \mu_{2}<19-1,96\frac{3}{\sqrt{50}}$

$19-0,83\leq\mu_{2}<19+0,83$

$18,17\leq\mu_{2}<19,83$

 

Il secondo intervallo è più piccolo del primo quindi abbiamo sicuramente una stima migliore e la modifica al processo produttivo è conveniente dato che si è abbassato il tempo di produzione 

 

 

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