Il circumcerchio Γ del triangolo ABC ha come centro K(u, v) l'unico punto del piano equidistante dai tre vertici e come raggio R tale comune distanza.
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Con
* A(9, - 1), B(1, 5), C(10, 2)
* q = R^2
eguagliando i quadrati si ha
* |KA|^2 = |KB|^2 = |KC|^2 = R^2 ≡
≡ (u - 9)^2 + (v + 1)^2 = (u - 1)^2 + (v - 5)^2 = (u - 10)^2 + (v - 2)^2 = q ≡
≡ u^2 + v^2 - 18*u + 2*v + 82 = u^2 + v^2 - 2*u - 10*v + 26 = u^2 + v^2 - 20*u - 4*v + 104 = q ≡
≡ - 18*u + 2*v + 82 = - 2*u - 10*v + 26 = - 20*u - 4*v + 104 = q - (u^2 + v^2) ≡
≡ (u = 5) & (v = 2) & (q = 25)
da cui
* Γ ≡ (x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 25 ≡
≡ x^2 + y^2 - 10*x - 4*y + 4 = 0
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La retta tangente una conica è la polare del punto di tangenza.
La retta t(T), tangente Γ in T(u, v), è la polare di T
* t(T) ≡ u*x + v*y - 10*(u + x)/2 - 4*(v + y)/2 + 4 = 0
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Le tre tangenti richieste sono
* t(A) ≡ 9*x - 1*y - 10*(9 + x)/2 - 4*(- 1 + y)/2 + 4 = 0 ≡ y = (4/3)*x - 13
* t(B) ≡ 1*x + 5*y - 10*(1 + x)/2 - 4*(5 + y)/2 + 4 = 0 ≡ y = (4/3)*x + 11/3
* t(C) ≡ 10*x + 2*y - 10*(10 + x)/2 - 4*(2 + y)/2 + 4 = 0 ≡ x = 10
parallela all'asse y la t(C) e parallele fra loro, con pendenza m = 4/3, le altre.
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Le intersezioni si ricavano da
* (4/3)*x = 40/3
* t(C) & t(A) ≡ y = 40/3 - 13 → D(10, 1/3)
* t(C) & t(B) ≡ y = 40/3 + 11/3 → E(10, 17)
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Il quadrilatero ABDE, di vertici
* A(9, - 1), B(1, 5), D(10, 1/3), E(10, 17)
è un poligono intrecciato e non credo sia quello inteso, che dovrebb'essere il trapezio ADEB, trapezio in quanto ha due lati sulle parallele t(A) e t(B).
Il perimetro si calcola come somma delle distanze
* |AD| = 5/3
* |DE| = 50/3
* |EB| = 15
* |BA| = 10
* p = 5/3 + 50/3 + 15 + 10 = 130/3
L'area S(ADEB) si calcola come semiprodotto fra l'altezza h (la distanza fra t(A) e t(B)) e la media delle basi
* h = 10
* S(ADEB) = h*(|AD| + |EB|)/2 = 10*(5/3 + 15)/2 = 250/3
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DETTAGLIO
La differenza d fra le intercette di t(A) e t(B) è
* d = |DE| = 50/3
Il coseno dell'inclinazione (terna pitagorica: 3, 4, 5) è
* cos(arctg(4/3)) = 3/5
quindi
* h = (50/3)*3/5 = 10
