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[Risolto] Esercizio su centro di massa ed equilibrio

  

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Buongiorno a tutti! Qualcuno potrebbe spiegarmi come posso risolvere il primo punto di questo problema a priori? Perché il secondo l’ ho risolto uguagliando i due momenti e mi viene che la massa della collana è 0,08 kg. Ma come posso fare ad arrivare alla risposta senza fare i calcoli? Quindi volendo rispondere al primo punto. Grazie 

Un bastone da 0,34 kg è in equilibrio al centro. Se una collana è sospesa a un'estremità del bastone, il punto di equilibrio si sposta di 9,5 cm verso quell'estremità.

(a) La massa della collana è maggiore, minore o uguale a quella del bastone? Spiegare.

(b) Trova la massa della collana.

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2 Risposte
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IO LA TERZA MEDIA L'HO FINITA NEL 1952 e a quell'epoca ancora non si sapeva cosa fosse un "problema a priori" perciò ti rispondo trascurando la specificazione.
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"arrivare alla risposta senza fare i calcoli" vuol dire discutere l'equilibrio in funzione del rapporto fra spostamento del baricentro e lunghezza del bastone.
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Per rispondere mi servono un po' di nomi e valori
DATI
* Δ = k*L = 95 mm = spostamento del baricentro
* m = λ*L = 340 g = massa del bastone
NON DATI
* L mm = lunghezza del bastone
* k = Δ/L = rapporto su cui costruire la risposta
* λ = m/L g/mm = densità lineare del bastone (uniforme? lo spero!)
* x = massa della collana (incognita del quesito b)
e servono anche le considerazioni che t'ho scritto ieri
1) condizione necessaria e sufficiente affinché un bilanciere resti orizzontale è che al braccio più corto sia appesa la massa più greve e al braccio più lungo sia appesa la massa più lieve;
2) usando le stesse unità di misura sui due bracci i prodotti fra lunghezza del braccio e massa della pendaglia devono essere eguali.
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CIO' PREMESSO ANALIZZO LA COSA ("senza fare i calcoli", ma con tante formule!)
A) Che il bastone XY senza carico sia in equilibrio al centro C rende ragionevole supporre l'uniformità di λ.
I momenti in equilibrio hanno modulo (L/4)*m/2 = (λ/8)*L^2.
B) Caricando la massa x all'estremità X sposta di Δ il baricentro verso X, da C a B.
I momenti sono
B1) Dal lato dell'estremità Y
B1a) ((L/2 + k*L)/2)*(L/2 + k*L)*λ = (λ/8)*(L^2)*(1 + 2*k)^2
B2) Dal lato dell'estremità X
B2a) ((L/2 - k*L)/2)*(L/2 - k*L)*λ = (λ/8)*(L^2)*(1 - 2*k)^2
B2b) (L/2 - k*L)*x = (L/2)*(1 - 2*k)*x
B3) Per ottenere l'equilibrio attorno al fulcro B dev'essere vero che
* (λ/8)*(L^2)*(1 + 2*k)^2 = (λ/8)*(L^2)*(1 - 2*k)^2 + (L/2)*(1 - 2*k)*x ≡
≡ x/(λ*L) = x/m = 1/(1/(2*k) - 1)
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RISPOSTE AI QUESITI
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(a) «La massa della collana è maggiore, minore o uguale a quella del bastone? Spiegare.» ≡
≡ «x è maggiore, minore o uguale a m? Spiegare.»
Dalla relazione
* x/m = 1/(1/(2*k) - 1)
si ricavano le tre condizioni
* x/m = 1/(1/(2*k) - 1) < 1 ≡ (0 < k < 1/4) oppure (k > 1/2) ≡ collana < bastone
* x/m = 1/(1/(2*k) - 1) = 1 ≡ k = 1/4 ≡ collana = bastone
* x/m = 1/(1/(2*k) - 1) > 1 ≡ 1/4 < k < 1/2 ≡ collana > bastone
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(b) «Trova la massa della collana.»
Dalla relazione
* x/m = 1/(1/(2*k) - 1)
si ricava l'espressione di x in funzione dei dati
* x = m/(1/(2*Δ/L) - 1) =
= 340/(1/(2*95/L) - 1) =
= 64600/(L - 190) g
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OSSERVAZIONE CRITICA
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Per poterti permettere di scrivere "la massa della collana è 0,08 kg", cioè 80 grammi, la prima frase del testo sarebbe dovuta essere
* «Un bastone da 0,34 kg, lungo 99,75 cm, è in equilibrio al centro.»
e non quella che hai scritto tu
* «Un bastone da 0,34 kg è in equilibrio al centro.»
Con quest'incipit il problema è indeterminato come t'ho spiegato sopra.




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EVIDENTEMENTE PRIMA DI PRANZO ERO IN IPOGLICEMIA.
Ora che mi sono rifocillato ho ripensato a questo problema ed ho reinterpretato la tua domanda.
La prima frase del testo è
* «Un bastone da 0,34 kg, lungo un metro, è in equilibrio al centro.»
E SEI TU CHE L'HAI TRASCRITTA PARZIALMENTE.
Se è così, allora
* k = Δ/L = 95/1000 = 19/200
* x/m = 1/(1/(2*19/200) - 1) = 19/81 < 1 ≡ collana < bastone
* x = 64600/(1000 - 190) = 6460/81 = 79.(753086419) g ~= 0.080 kg

eng

@exprof ho svolto lo stesso quesito. Il bastone è lungo 1 metro: 0,34 kg meterstick

👍

@Sara987 @Dany_71
Ci avevo azzeccato!
Sara ha letto "barra metrica" (quella dei negozi di stoffe, di ferramenta, ...) in inglese e ha scritto "bastone" in italiano trascurando il metro.

Esatto🤗



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