È assegnata una circonferenza di raggio $r$ e centro $O$. Sia $A_{0}$ un punto arbitrario di tale circonferenza. Percorri la circonferenza in senso antiorario e scegli sulla circonferenza un punto $A_{1}$ in modo che $A_{0} \widehat{O} A_{1}=\pi ;$ ora, sempre muovendoti in senso antiorario, sull'arco $\widehat{A_{0} A_{1}}$ scegli un punto $A_{2}$ in modo che $A_{1} \widehat{O} A_{2}=\frac{\pi}{2} ;$ itera il procedimento nel modo seguente: una volta che hai determinato il punto $A_{k}$, scegli $A_{k+1}$ sull'arco $\widehat{A_{k} A_{0}}$ in modo che $A_{k} \widehat{O} A_{k+1}=\frac{\pi}{2^{k}} .$ Scrivi la serie che esprime la lunghezza della poligonale, inscritta nella circonferenza, che si ottiene congiungendo tutti i punti della successione $A_{k}$ e dimostra che tale lunghezza è dominata dalla lunghezza della circonferenza.
(Suggerimento. Ricorda che per $x \geq 0$ si ha sen $x \leq x \ldots$..)
$$
\left[\sum_{n=0}^{+\infty} 2 r \operatorname{sen} \frac{\pi}{2^{n+1}}<2 \pi r\right]
$$
