Dati i punti A(1;0) B(2;1\3) e C(-5;-2), dimostra che sono allineati e scrivi l'equazione della retta:
a) a cui appartengono
b) passante per il punto medio del segmento di estremi A e C e parallela a y= -5 + 1/2 x
c) passante per B e per l'origine degli assi
d) passante per C e perpendicolare a 2x - 5 = 0
Risposta [ a) 1\3x ; b) y=1\2 x ; c) y=1\6 x ; d) y=-2 ]
107
punti
Livello 1
Scrivo l'equazione della retta passante per due punti e verifico che il terzo appartiene a tale retta.
Retta (AC) : y= (-2/-6)*(x-1)
y= (1/3)*x - (1/3)
Verifico se B(2, 1/3) € y: 1/3 = 1/3 ok
I tre punti sono allineati.
Punto 2)
Il punto medio del segmento AC è
M= ( - 2, - 1)
La retta data ha coefficiente angolare 1/2. Quindi la retta // a quella data e passante per M ha equazione:
y + 1 = (1/2) * (x+2)
y= (1/2)*x
Punto 3)
Tutte le rette passanti per l'origine hanno equazione y= mx
Imponendo la condizione di appartenenza del punto B al fascio, si ricava il valore di m.
2m = 1/3
m= 1/6
Quindi la retta ha equazione:
y= (1/6)*x
Punto 4)
La retta data è // all'asse y avendo equazione x=k
La retta richiesta, perpendicolare a quella data, è quindi // all'asse x (equazione y=k) e passa per il punto C.
Imponendo la condizione di appartenenza del punto si ricava il valore di k
K= - 2
Quindi: y= - 2
75840
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Genius II
Se più di due punti sono allineati lo si vede da un paio di conseguenze:
1) l'area del loro poligono è zero;
2) le componenti dei vettori che li congiungono sono proporzionali.
Per dimostrare che i tre punti dati lo sono la verifica più semplice è la 2, calcolando i due vettori CA e CB con la cocca in C e le punte in A e B.
* CA = A - C = (1, 0) - (- 5, - 2) = (6, 2)
* CB = B - C = (2, 1/3) - (- 5, - 2) = (7, 7/3)
da cui si verifica (CB = (7/6)*CA) la richiesta proporzionalità fra i vettori.
Invece la relazione fra le componenti di ciascun vettore (y = x/3) risponde al quesito a.
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I quesiti b e d sono identici a quelli dei due esercizi precedenti (danno direttamente il centro di un fascio e indirettamente la pendenza della retta richiesta) e non voglio offenderti sviluppandoli qui io per la terza volta.
Al quesito a la risposta è arrivata come sottoprodotto della verifica.
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Resta il quesito c: retta per l'origine (y = m*x) e per un punto dato, B(2, 1/3).
La pendenza si determina dal vincolo d'appartenenza
* 1/3 = m*2 ≡ m = 1/6 → y = x/6
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Genius I
