Esercizio probabilità 2

Question

Un supermercato acquista 13 lotti giornalieri di uova. Ogni lotto contiene 10 uova. Un uovo verrà scartato se presenta più di 5 piccoli difetti. La probabilità che un singolo uovo presenti almeno un piccolo difetto è 0,95023. Calcolare
a) la media di difetti per un uovo.
b) La probabilità che in un singolo lotto siano presenti più di 40 piccoli difetti.
c) La probabilità che nei 13 lotti acquisiti in un giorno si trovino fra 5 lotti con più di 40 piccoli difetti.
d) La probabilità che in 25 giorni lavorativi si debbano scartare un numero di uova compreso fra 250 e 400 uova.
e) Calcolare quanti lotti si devono comprare per avere probabilità circa del $90 \%$ di dover scartare almeno 100 uova.

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dal punto a ricavo che è una poisson di parametro 3 e nel punto d ed e devo calcolare le probabilità facendo uso dell’approssimazione normale, ma non mi viene comunque.

nel punto d ho pensato di usare un’altra variabile aleatoria binomiale di parametro n=3250(le uova totali prodotte in 25 giorni) e p=0.084(ossia la probabilità che un singolo uovo venga scartato)

fatto questo ho pensato di usare l’approssimazione normale della binomiale, ma comunque mi vengono numeri molto alti per poter usare l’approssimazione… Ad esempio se mi viene 7, posso approssimare la probabilità a 0?

Autore

Risposta

quor

(@quor)

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20/02/2023 21:58

EidosM · Accepted Answer

a) Pr [X = 0] = e^(-L)*L^0/0!

e^(-L) = 1 - 0.95023

L = 3

Questa é la risposta al punto a)

b) in un lotto ci sono 10 uova : una Poisson con parametro 30

Pr [ X > 40 ] = 1 - poisscdf(40,30) = 0.0323 determinata con Octave Online

c) esattamente 5 ?

binopdf(5,13,0.0323) = 3.48 * 10^(-5)

d) la probabilità che un uovo venga scartato é

p = 1 - poisscdf(5,3) = 0.084

e 25*13*10 = 3250 uova

Usando l'approssimazione normale alla binomiale sottesa

la media é np = 3250*0.084 = 273

e la deviazione standard é rad(273*0.916) = 15.8

allora 249.5 corrisponde a (249.5 - 273)/15.8 = -1.4873

e 400.5 corrisponde a 8.0696

Pr[E*] = normcdf(8.0696) - normcdf(-1.4873) = 0.9315

l'approssimazione normale é pienamente lecita

e) per ora lo lascio in sospeso

In una normale, il valore che ha il 90% di probabilità di essere

superato é 1.2816 deviazioni standard sotto la media e questo deve

corrispondere a 100 uova scartate

pertanto dovresti scrivere

0.084 N - 1.2816*sqrt (0.084*0.916*N) = 100

e risolvere questa equazione di secondo grado.

Wolfram dice 1346 uova corrispondenti a 135 lotti.

EidosM

(@eidosm)

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20/02/2023 22:34

[Risolto] Esercizio probabilità 2

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