Si consideri una moneta truccata con parametro di truccatura $p$ incognito. Al fine di determinare $p$, si lancia la moneta $n$ volte e si stima $p$ con $S_n / n$, ove $S_n$ è il numero di teste negli $n$ lanci effettuati. Dato $\delta>0$ determinare quanto grande deve essere $n$ affiché la probabilità che $\left|S_n / n-p\right|<\delta$ sia almeno il $95 \%$.
500
punti
Livello 1
E' la stima attraverso una proporzione campionaria
Se il valore esatto ( sconosciuto ) é p
S ha una distribuzione binomiale con media np e varianza npq
S/n é ancora binomiale con media p e varianza pq/n
Se n é grande, S/n é approssimativamente normale con media p e deviazione standard rad(pq/n)
S/n - p é normale con media 0 e deviazione standard ancora rad(pq/n)
(S/n - p)/rad(pq/n) é N(0,1^2)
i confini dell'intervallo di confidenza al 95% sono -1.96 e 1.96
deve quindi risultare 1.96 rad(pq/n) < d
e ciò accade sicuramente se 1.96 rad (1/(4n)) < d
1/(4n) < (d/1.96)^2
4n > 3.841/d^2
n > 0.96/d^2
o meglio n > max( 0.96/d^2, 30 )
per giustificare l'uso dell'approssimazione normale
58339
punti
Livello 7
