[Risolto] Esercizio parabola

Le due parabole sono:

y = x^2 - 2·x + c + 3/2 e y = - x^2 + 4·c·x

ed ammettono come derivate:

y'=dy/dx=2·x - 2    e    y' =dy/dx = 4·c - 2·x

Le due parabole sono tangenti in un punto se: passano nello stesso punto ed hanno medesima derivata.

Quindi devi risolvere il sistema:

{x^2 - 2·x + c + 3/2 = - x^2 + 4·c·x

{2·x - 2 = 4·c - 2·x

dalla seconda ottieni: x = (2·c + 1)/2

quindi procedi per sostituzione nella prima:

((2·c + 1)/2)^2 - 2·((2·c + 1)/2) + c + 3/2 = - ((2·c + 1)/2)^2 + 4·c·((2·c + 1)/2)

c^2 + 3/4 = 3·c^2 + c - 1/4

Risolvi ed ottieni: c = 1/2 ∨ c = -1

Per c=1/2 hai le due parabole:

y = x^2 - 2·x + 1/2 + 3/2----> y = x^2 - 2·x + 2

y = - x^2 + 4·(1/2)·x--------> y = 2·x - x^2

Per c = -1 hai le due parabole:

y = x^2 - 2·x + 1/2

y = - x^2 - 4·x

Due parabole sono tangenti se e solo se in un punto comune T hanno comune anche la tangente.
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Le parabole
* Γ1(c) ≡ y = x^2 - 2*x + c + 3/2
* Γ2(c) ≡ y = - x^2 + 4*c*x
s'intersecano nelle soluzioni (A, B) del sistema
* (y = x^2 - 2*x + c + 3/2) & (y = - x^2 + 4*c*x)
che sono reali purché
* d = 2*(2*c^2 + c - 1) >= 0 ≡ (c <= - 1) oppure (c >= 1/2)
e in tal caso sono
* A((2*c + 1 - √d)/2, (2*c + 1 + 2*√d + 4*c*(2*c - √d))/4)
* B((2*c + 1 + √d)/2, (2*c + 1 - 2*√d + 4*c*(2*c + √d))/4)
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Le pendenze delle parabole sono
* di Γ1: m1(x) = 2*(x - 1)
* di Γ2: m2(x) = 2*(2*c - x)
e risultano eguali solo per x = c + 1/2
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Caso T = A
* x = c + 1/2 = (2*c + 1 - √(2*(2*c^2 + c - 1)))/2 ≡
≡ (c = - 1) oppure (c = 1/2)
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Caso T = B
* x = c + 1/2 = (2*c + 1 + √(2*(2*c^2 + c - 1)))/2 ≡
≡ (c = - 1) oppure (c = 1/2)
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CONCLUSIONI
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Caso c = - 1
* Γ1(- 1) ≡ y = x^2 - 2*x + 1/2
* Γ2(- 1) ≡ y = - (x + 4)*x
* (y = x^2 - 2*x + 1/2) & (y = - (x + 4)*x) ≡ T(- 1/2, 7/4)
* m1(- 1/2) = 2*(- 1/2 - 1) = - 3
* t ≡ y = 7/4 - 3*(x + 1/2)
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D7%2F4-3*%28x--1%2F2%29%2Cy%3Dx%5E2-2*x--1%2F2%2Cy%3D+%28-x-4%29*x%5Dx%3D-1to0%2Cy%3D0to3
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Caso c = 1/2
* Γ1(1/2) ≡ y = x^2 - 2*x + 2
* Γ2(1/2) ≡ y = - (x - 2)*x
* (y = x^2 - 2*x + 2) & (y = - (x - 2)*x) ≡ T(1, 1)
* m1(1) = 2*(1 - 1) = 0
* t ≡ y = 1
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5By%3D1%2Cy%3Dx%5E2-2*x--2%2Cy%3D-%28x-2%29*x%5D

Essendo mt = 2axo + b

deve essere 2xo - 2 = -2xo + 4c

e naturalmente xo^2 - 2xo + c + 3/2 = - xo^2 + 4 c xo

Dunque

{ 4xo = 4c - 2

{ 2xo^2 - (4c + 2) xo + c + 3/2 = 0

Si può risolvere per sostituzione e ti lascio i calcoli.