[Risolto] Esercizio n.173

L'iperbole Γ è il luogo geometrico dei punti P(x, y) del piano Oxy per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi e la cui equazione, a coefficienti tutti reali, ha la forma
* Γ ≡ A*x^2 + B*x*y + C*y^2 + a*x + b*y + c = 0
dove
* B^2 > 4*A*C
------------------------------
L'esercizio 173 fornisce due soli dati
* un fuoco in F(0, - 5)
* un unico punto in U(9/4, 5)
distanti fra loro
* |UF| = 41/4 = 10.25
e quindi presenta un problema indeterminato per carenza di vincoli.
---------------
Per ottenere le formule che generano le infinite iperboli possibili si nominano la "costante differenza delle distanze dai fuochi"
* d > 0
e le coordinate del secondo fuoco
* F'(u, v)
poi si calcolano la distanza
* |UF'| = √((u - 9/4)^2 + (v - 5)^2)
la differenza
* |UF'| - |UF| = √((u - 9/4)^2 + (v - 5)^2) - 41/4 = d
e si scrive l'equazione di Γ in funzione delle sole coordinate di F'
* |PF'| - |PF| = √((u - 9/4)^2 + (v - 5)^2) - 41/4 ≡
≡ Γ(u, v) ≡ √((u - x)^2 + (v - y)^2) - √(x^2 + (y + 5)^2) = √((u - 9/4)^2 + (v - 5)^2) - 41/4
quindi c'è una duplice infinità di iperboli che soddisfanno alla consegna.
---------------
Ad esempio
* Γ(- 9, 12) ≡ 288*x^2 - 1224*x*y + 6876*x + 1120*y^2 - 13348*y + 35581 = 0
* Γ(12, 25) ≡ 21*y^2 + 20*x*y - 200*x - 540*y + 2400 = 0
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5B288*x%5E2-1224*x*y-13348*y%3D-6876*x-1120*y%5E2-35581%2C21*y%5E2-200*x-540*y%3D-20*x*y-2400%5D