Lungo l'asse $x$ di un sistema di riferimento inerziale avente origine $O,$ un punto materiale $P$ descrive un moto armonico di equazione $x=x_{1} \sin (\omega t)$ dove $x_{1}$ è l'ampiezza e $\omega$ è la pulsazione. Un secondo sistema di riferimento, con assi paralleli e concordi al primo sistema, è in movimento rispetto a quest'ultimo in modo tale che la posizione della sua origine $O^{\prime}$ sia individuata dall'equazione $x_{O^{\prime}}=x_{2} \sin (\omega t+\pi)$ mentre $y_{O^{\prime}}=$ $z_{O^{\prime}}=0$ 1. Determinare l'accelerazione del punto nel secondo sistema di riferimento. 2. Descrivere, sempre nel secondo sistema, il moto del punto.
Il moto del punto materiale P avviene solo lungo gli assi $x$ e $x'$ dei due sistemi di riferimento come in figura:
La relazione tra le posizioni del punto $P$ rispetto ai due sistemi di riferimento è la seguente: (1) \[ x=x_{O^{\prime}}+x^{\prime} \] da cui: (2) \[ x^{\prime}=x-x_{O^{\prime}} \] Sostituendo la forma esplicita di $x$ e $x_{O^{\prime}}$ fornita dal problema otteniamo \[ x^{\prime}=x-x_{O^{\prime}}=x_{1} \sin (\omega t)-x_{2} \sin (\omega t+\pi)=x_{1} \sin (\omega t)+x_{2} \sin (\omega t)=\left(x_{1}+x_{2}\right) \sin (\omega t) \] Ovvero: (3) \[ x^{\prime}=\left(x_{1}+x_{2}\right) \sin (\omega t) \] Derivando (2) due volte rispetto al tempo abbiamo: (4) \[ \frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{2}}=\left(x_{1}+x_{2}\right) \omega^{2} \sin (\omega t) \] e concludiamo che l'accelerazione cercata nel secondo sistema di riferimento è \[ \frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{2}}=\left(x_{1}+x_{2}\right) \omega^{2} \sin (\omega t) \]
Soluzione punto 2.
Da (3) osserviamo che $P$ si muove di moto armonico con pulsazione $\omega$ ed ampiezza massima $x_{1}+x_{2}$ nel secondo sistema di riferimento. Derivando (3) una volta rispetto al tempo abbiamo \[ \frac{d x^{\prime}}{d t}=\left(x_{1}+x_{2}\right) \omega \cos (\omega t) \] da cui si evince che il modulo della velocità massima è $\left(x_{1}+x_{2}\right) \omega$ $E ^{\prime}$ altresì possibile dedurre da (4) che il modulo dell'accelerazione massima è $\omega^{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)$
