[Risolto] Esercizio matematica

Equazione di una generica circonferenza

$x^2 + y^2 +ax +by +c=0$

Passaggio per (1,3): $1+9+a+3b+c=0$

Passaggio per (5,-3): $25+9+5a-3b+c=0$

Raggio: $r = \sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2 -c} = \sqrt{26}$

Mettiamo a sistema le equazioni

{$a+3b+c+10=0$

{$5a-3b+c+34=0$

{$a^2+b^2-4c = 104$

Sommiamo le prime due equazioni
$6a +2c +44=0$

Risolviamo per c

$c = -3a-22$

sostituiamo quest'ultima nella prima equazione e risolviamo per b

$a+3b-3a-22+10=0$ , $-2a +3b -12=0$

$b=\dfrac{12}{3} +\dfrac{2a}{3}$

Sostituiamo le espressioni ottenute per $c$ e $b$ nell'ultima equazione

$a^2 +(4 +\dfrac{2}{3}a)^2 -4(-3a-22) = 104$

$a(a+12)=0$

Risolvendo l'equazione troviamo due soluzioni $a_{1,2} = 0,-12$

Di conseguenza $b_{1,2}=4,-4$ e $c_{1,2} = -22,14$ 

Ora possono essere sostituiti all'interno della equazione generale della circonferenza da cui siamo partiti.

($\sqrt{26} \approx 5.1$)

Io prenderei il punto medio $M$ del segmento $AB$:

$M (3,0)$. 

La pendenza della retta per $A$ e per $B$ è $m_{AB}=-3/2$, quindi la pendenza della perpendicolare è $m=2/3$

la retta perpendicolare al segmento $AB$ passante per $M$ è quindi

$y=\frac{2}{3}x-2$

significa che i due centri delle due circonferenze avranno coordinate:

$C(t,\frac{2}{3}t-2)$

adesso imponi che 

$CA^2=26$:

$(t-1)^2+(\frac{2}{3}x-2-3)^2=26$

semplifichi e ottieni 

$\frac{13}{9}t^2-\frac{26}{3}t=0$

che ha soluzioni $t=0$ e $t=6$

i due centri sono pertanto

$C_1(0,-2)$ e $C_2(6,2)$

Non rammento più bene il nome del professore di disegno (credo fosse Frassanito) che me lo insegnò in prima media nell'ormai remoto anno scolastico 1949/50, ma è ancora un buon metodo: puntare il compasso, con apertura r = √26, prima in A(1, 3) e tracciare la circonferenza Γ1
* Γ1 ≡ (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 26
poi in B(5, - 3) e tracciare la circonferenza Γ2
* Γ2 ≡ (x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 26
le loro intersezioni
* ((x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 26) & ((x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 26) ≡
≡ C1(0, - 2) oppure C2(6, 2)
sono i centri delle circonferenze richieste
* Γ3 ≡ (x - 0)^2 + (y + 2)^2 = 26 ≡ x^2 + y^2 + 4*y - 22 = 0
* Γ4 ≡ (x - 6)^2 + (y - 2)^2 = 26 ≡ x^2 + y^2 - 12*x - 4*y + 14 = 0
e questo è proprio il risultato atteso.