[Risolto] Esercizio matematica (2)

ESERCIZIO STRAMBO
* nomina "l'equazione della parabola" al singolare
* dà come risultato atteso [y=-x^2/2+2*x] l'equazione di una sola parabola
* MA LE CONDIZIONI RICHIESTE NE SPECIFICANO UN'INFINITA'
come diavolo è possibile?
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Applicando le condizioni alla generica equazione della parabola con cinque parametri
* Γ(U, V, a, b, c) ≡ (U*x + V*y)^2 + a*x + b*y + c = 0
si ha quanto segue.
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"passante per l'origine" ≡ c = 0
* Γ(U, V, a, b) ≡ (U*x + V*y)^2 + a*x + b*y = 0
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"passante per P(4, 0)" ≡ (U*4 + V*0)^2 + a*4 + b*0 = 0 ≡ a = - 4*U^2
* Γ(U, V, b) ≡ (U*x + V*y)^2 - (4*U^2)*x + b*y = 0
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"tangente in P alla retta di equazione y=-2 x+8" vuol dire che il sistema delle due equazioni deve avere due soluzioni reali e coincidenti in P.
Il sistema
* (y = 2*(4 - x)) & ((U*x + V*y)^2 - (4*U^2)*x + b*y = 0)
ha risolvente
* (U*x + V*(2*(4 - x)))^2 - (4*U^2)*x + b*(2*(4 - x)) = 0 ≡
≡ ((U - 2 V)^2)*x^2 - 2*(b + 2*((U - 2*V)^2 + 4*V^2))*x + 8*(b + 8*V^2) = 0
con discriminante
* Δ(U, V, b) = 4*((b - 2*U*(U - 4*V))^2)
che, per la tangenza, dev'essere nullo
* Δ(U, V, b) = 0 ≡ b = 2*U*(U - 4*V)
da cui l'equazione che SODDISFA' A TUTT'E TRE LE CONDIZIONI
* Γ(U, V) ≡ (U*x + V*y)^2 - (4*U^2)*x + 2*U*(U - 4*V)*y = 0
MA CHE NON INDIVIDUA UNA SOLA PARABOLA.
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Poiché è il rapporto fra i due parametri a determinare l'inclinazione θ dell'asse di simmetria della parabola la famiglia di parabole Γ(U, V) costituisce un fascio con punti base O e P e il risultato atteso è, delle infinite parabole generabili, solo quella con inclinazione dell'asse
* θ = π/2 ≡ V = 0
* Γ(U, 0) ≡ (U*x + 0*y)^2 - (4*U^2)*x + 2*U*(U - 4*0)*y = 0 ≡
≡ (x^2 - 4*x + 2*y)*U^2 = 0 ≡
≡ y = 2*x - x^2/2
MA PORCA PUPAZZA QUESTA ERA UNA CONDIZIONE DA DICHIARARE ESPLICITAMENTE e non è stato corretto averla lasciata sottaciuta!

@Pepp03

La parabola passa per l'origine e per il punto P(4.0). La sua equazione generica sarà 

y= ax² + bx

Imponendo la condizione di appartenenza di P risulta 

16a + 4b = 0

Sappiamo che la derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto dato.

Calcoliamo la derivata prima della funzione 

y' (x) = 2ax + b

Impongo la condizione che la derivata prima per x=4 assuma valore - 2 (coefficiente angolare retta tangente)

8a + b = - 2

Mettendo a sistema le due condizioni

{16a + 4b = 0

{8a + b = - 2

Moltiplicando la seconda per (-2) si ottiene 

b=2

a= - 1/4 * b = - 1/2

Quindi a= - 1/2  b=2

Una parabola passante per l'origine risulta mancante del termine noto (c=0), quindi la parabola cercata è del tipo:

y=ax^2+bx

Se essa risulta tangente nel punto P(4,0), possiamo ricorrere alle formule di sdoppiamento:

(y + 0)/2 = a·4·x + 2·(x + 4)/2

Sviluppando si ottiene:

y = 2·x·(4·a + 1) + 8

Per confronto con la retta data:

y=-2x+8

deve essere:

2·(4·a + 1) = -2--------> a = - 1/2--------> y = - 1/2·x^2 + b·x 

passa per P: 

0 = - 1/2·4^2 + b·4------> 0 = 4·b - 8------> b = 2

y = - 1/2·x^2 + 2·x