[Risolto] Esercizio matematica (1)

@pepp03

Ciao. Partiamo da ciò che è sicuro: la retta tangente alla cubica nel punto x=0

Quindi la sicurezza sta nel fatto che la retta tangente passi da:

y = 2·a·0^3 - 2·a·0 + 1------> y = 1-----> A(0,1)

Non solo!

Deve essere m pari alla derivata della cubica per x=0:

dy/dx=6·a·x^2 - 2·a-----> x=0------> m=-2a

Quindi la tangente ha equazione y=-2ax+1 dovendo passare per A(0,1)

Continuo dopo pranzo........

Eccomi qui!

Metto a sistema la retta trovata con la parabola:

{y = - 2·a·x + 1

{y = x^2 - a·x + 5

Risolvo per confronto (o per sostituzione)

- 2·a·x + 1 = x^2 - a·x + 5

x^2 + a·x + 4 = 0

Impongo la condizione di tangenza: Δ = 0

a^2 - 16 = 0------> a = -4 ∨ a = 4

Quindi l'unica soluzione a=-4. Per a=4 si ha la soluzione della figura seguente che non combacia con la tangente in x=2

Per a=-4 la retta comune è: y= 8x + 1

@Pepp03

Che stranezza è dare per scontato che la tangente "t" comune esista; ad ogni modo cercare di costruirla costituisce dimostrazione costruttiva, no?
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Con le funzioni, e le relative pendenze,
* f(x) = y = 2*a*x^3 - 2*a*x + 1 ; f'(x) = dy/dx = 2*a*(3*x^2 - 1)
* g(x) = y = x^2 - a*x + 5 ; g'(x) = dy/dx = 2*x - a
condizione necessaria per l'esistenza di "t" è
* f'(0) = g'(2) ≡ 2*a*(3*0^2 - 1) = 2*2 - a ≡ a = - 4
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Per a = - 4 si ha
* f(x) = y = - (8*x^3 - 8*x - 1) ; f'(x) = dy/dx = - 8*(3*x^2 - 1)
* g(x) = y = x^2 + 4*x + 5 ; g'(x) = dy/dx = 2*x + 4
* f'(0) = g'(2) = 8
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La dimostrazione costruttiva si completa verificando o confutando che la stessa pendenza sia anche quella della congiungente i punti
* F(0, f(0)) = (0, 1)
* G(2, g(2)) = (2, 17)
cioè
* FG ≡ y = 8*x + 1
che, in effetti, ha pendenza otto ed è la richiesta retta tangente comune.
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D8*x%2B1%2C%28y%2B8*x%5E3-8*x-1%29*%28x%5E2%2B4*x%2B5-y%29%3D0%5D