[Risolto] Esercizio matematica (3)

Ciao.

y = a·x^3 + 2·x^2 - b·x + 1

Da determinare a e b della cubica. Essa deve passare da A(2,1) ed in corrispondenza di tale punto deve avere coefficiente angolare pari a 2: questo è il valore infatti della retta assegnata y=2x+5.

Qui, a mio avviso c'è un errore del testo in quanto se è tangente nel punto A alla retta, la retta stessa deve passare per A!-------> ma 1 = 2·2 + 5???-----> 1 = 9 ????

Il testo deve quindi essere riformulato perché SBAGLIATO! (a mio avviso!)

Quindi la retta tangente in A alla cubica non è quella!

Semmai può essere parallela a quella!

Quindi risolvo il sistema supponendo che il testo sia diverso e che dica: 

"Data la funzione f(x)=ax3+2x2−bx+1, calcola i valori di a e b in modo che il suo grafico sia tangente alla retta parallela alla retta di equazione 2x−y+5=0 nel punto A(2;1)."

Che non è esattamente la stessa cosa!

y = a·x^3 + 2·x^2 - b·x + 1

Quindi passa per (2,1) ed è tangente alla retta y=2x+q con m=2 (che determineremo alla fine).

Quindi:

{cubica che passa per (2,1)

{cubica che per x=2 ha derivata pari a m=2

quindi:  y'=dy/dx=3·a·x^2 + 4·x - b

{1 = a·2^3 + 2·2^2 - b·2 + 1

{3·a·2^2 + 4·2 - b = 2

Quindi consideriamo il sistema:

{8·a - 2·b = -8

{12·a - b = -6

che fornisce soluzione:

[a = - 1/4 ∧ b = 3]

Quindi la cubica cercata è: y = - x^3/4 + 2·x^2 - 3·x + 1

mentre la retta tangente in A(2,1) è:

1 = 2·2 + q------> q = -3------> y = 2·x - 3

@Pepp03

Sappiamo che la derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto dato. Calcoliamo quindi 

f' (x) = 3ax² + 4x - b

Poiché la retta data, y= 2x + 5 ha coefficiente angolare uguale 

m=2

Dobbiamo imporre la condizione 

f' (X_A) = f'(2) = m = 2

Sostituendo i valori numerici risulta

4* 3a + 8 - b = 2

12a - b = - 6

Sappiamo anche che il punto A(2,1) appartiene ad f(x). Imponendo la condizione di appartenenza risulta 

8a + 8 - 2b + 1 = 1

4a - b = - 4

Mettendo a sistema le due condizioni 

{ 12a - b = - 6

{ 4a - b = - 4

Sottraendo membro a membro otteniamo 

8a = - 2

a = - 1/4

b= 4a + 4 = 3

Quindi a= - 1/4  b=3

I precedenti esercizi #1 e #2 m'hanno dato il piacere di pignolare nel segnalarti due o tre cose su cui soffermare la tua attenzione, ma qui la sola flebile obiezione possibile è di farti notare che il punto di tangenza è meglio chiamarlo T che A (di una miseria sconfortante).
L'esercizio è banale perché hai la retta
* t ≡ 2*x - y + 5 = 0 ≡ y = 2*x + 5
di pendenza m = 2; dimostri o (1 = 2*2 + 5 = 9 ≡ Falso) CONFUTI il passaggio per A(2, 1), e l'esercizio termina con la soluzione "problema impossibile".
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Qui c'è la parte divertente: raddrizzare le incongruenze del testo.
Con
* t ≡ 2*x - y - 5 = 0 ≡ y = 2*x - 5
* T(2, - 1)
la confutazione si tramuta in dimostrazione (- 1 = 2*2 - 5 = 1 ≡ Vero) e si può ritornare alla parte banale.
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Dicevo: hai la retta
* t ≡ 2*x - y - 5 = 0 ≡ y = 2*x - 5
di pendenza m = 2; verifichi (- 1 = 2*2 - 5 = 1 ≡ Vero) il passaggio per T(2, - 1); hai la funzione parametrica
* f(x) = y = a*x^3 + 2*x^2 - b*x + 1
che, per far passare da T il suo grafico, deve soddisfare al vincolo
* f(2) = - 1 = a*2^3 + 2*2^2 - b*2 + 1 ≡ b = 4*a + 5
da cui
* f(x) = y = a*x^3 + 2*x^2 - (4*a + 5)*x + 1
con pendenza, generica e in T,
* m(x) = dy/dx = 3*a*x^2 + 4*x - (4*a + 5)
* m(2) = 3*a*2^2 + 4*2 - (4*a + 5) = 8*a + 3
che eguaglia quella di t nelle radici di
* m(2) = m ≡ 8*a + 3 = 2 ≡ a = - 1/8 → b = 4*(- 1/8) + 5 = 9/2
e, con (a, b) = (- 1/8, 9/2), ottieni infine
* f(x) = y = - (x^3 - 16*x^2 + 36*x - 8)/8
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Vedi il grafico e il paragrafo "Solutions" al link
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5By%3D2*x-5%2Cy%3D-%28x%5E3-16*x%5E2%2B36*x-8%29%2F8%5D