Nota che sostituendo il valore di $x=3$ otteniamo:
$lim_{x\rightarrow} 3 \frac{f(x)-5}{x-3} = \frac{f(3)-5}{0}$
Andiamo per esclusione: se $f(3)-5$ desse come risultato $\infty$ o un valore finito e diverso da 0, il risultato sarebbe di certo $\infty$, il che non è possibile dato che il limite è finito. Questo ci porta a dire che anche $f(3)-5 = 0$ in modo da ottenere una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ che può effettivamente dare come risultato un valore finito.
Quindi certamente dev'essere $f(3) = 5$ e quindi $lim_{x\rightarrow 3} f(x) = 5$
Non possiamo dir nulla invece per gli altri due limiti perché sapere che la funzione vale $f(3)=5$ non ci dà alcuna informazione sul suo comportamento a 0 o $\infty$.
Diversa è la situazione del secondo esercizio perché se $lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$ è finito, vuol dire che $f(x)=ax^2$ cioè è un infinitesimo dello stesso ordine o anche $f(x)=ax^n, n>2$ cioè può anche avere un esponente maggiore.
Di certo quindi $lim_{x\rightarrow 0} f(x) = 0$ (come prima se fosse infinito o un numero, il limite iniziale non sarebbe finito).
Stavolta possiamo dire con certezza che anche $lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} = 0$ proprio perché $f(x)$ dev'essere un infinitesimo di ordine 2 o superiore.
Invece non sappiamo nulla di $lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^3}$ perché potrebbe essere infinito (se l'ordine di f(x) è 2) o finito (se l'ordine è >2)
Noemi
