Esercizio guidato

Ciao @luigi2!

Cominciamo col dire che K deve stare su EF perché la faccia EPF della piramide giace sulla faccia EFGH del parallelepipedo che, per costruzione, è perpendicolare alla faccia AEFB.

Quindi l'altezza PK, perpendicolare a EF, non può che trovarsi anch'essa sulla faccia EFGH e dunque K deve appartenere ad EF.

L'angolo EPF è invece retto per il teorema delle tre perpendicolari:

Considera la retta AE che per costruzione è perpendicolare al piano della faccia EFGH .

Tracciamo quindi una retta ET appartenente al piano EFGH e passi per E, scegliendola perpendicolare a FH (non chiamo P il punto ma voglio dimostrare che T sarà proprio il P definito dal problema).

Il teorema delle tre perpendicolari ci dice che la retta FH sarà perpendicolare al piano definito dalle rette AE ed ET. 

Questo implica che FH è perpendicolare a tutte le rette del piano AET, in particolare anche alla retta AT.

Ma dato che, data una retta e un punto esterno ad essa, la retta perpendicolare alla retta data e passante per il punto è unica, vuol dire che la retta AT trovata non è altro che la retta AP, per costruzione perpendicolare a FH dal punto esterno A.

 

Ora notiamo che il triangolo EHF è simile a FPE (entrambi rettangoli con angolo F in comune).

Allo stesso modo il triangolo FPE è simile a KPE (entrambi rettangoli con angolo E in comune).

Per la proprietà transitiva EHF è simile a KPE.

 

Ora sapendo che EF=AB=3x e EH=AD=4x ricaviamo tramite Pitagora che FH=5x (terna Pitagorica eheh).

Per il primo teorema di Euclide:

$PF= EF^2 /HF = \frac{9x^2}{5x} = \frac{9}{5} x$

Di nuovo tramite Euclide su EPF otteniamo che:

$FK = PF^2 / FE = \frac{81}{25}x^2 \frac{1}{3x} = \frac{27}{25} x$

Da cui

$PK = \sqrt{PF^2 - FK^2} = \frac{36}{25} x$

 

Ora quindi possiamo calcolare il volume della piramide:

$V= \frac{AB * AE * PK}{3} = \frac{3x \cdot (2a-x) \cdot 36/25 x}{3} = \frac{36}{25}(2a-x)x^2$

 

Per massimizzare il volume, troviamo la derivata di V rispetto a x (ometto i calcoli):

$V'(x)= \frac{36}{25} (4a-3x) x$

Studiando il segno della derivata possiamo notare che c'è un minimo (ovviamente) per x=0 e un massimo per $x=\frac{4}{3}a$.

 

Dunque poniamo x pari al valore trovato:

$V(4/3 a) = \frac{36}{25} (2a - \frac{4}{3}a)(\frac{4}{3} a)^2 = \frac{128}{75} a^3$

Allora perché il volume sia $\frac{128}{75}$, dev'essere $a=1$.

 

Lascio a te il compito di ricavare la superficie totale... ora hai tutti i dati a disposizione per farlo.

 

Noemi