[Risolto] es 305

@lorenzo_licinio_carino

 

Se la bisettrice del I, III quadrante (y=x, coefficiente angolare m=1) stacca una corda di lunghezza 2*radice (2), gli estremi della corda avranno ascisse e ordinate che distano tra loro 2.

I punti di intersezione tra la retta e la circonferenza hanno coordinate:

P(x0, x0) 

Q(x0 + 2, x0 + 2)

Le circonferenze tangenti all'asse y, di raggio r=2 che staccano una corda di lunghezza 2*radice (2) con la bisettrice y=x, hanno centro di coordinate C( 2, yc) oppure C( - 2, - yc)  vista la simmetria del problema. 

Determino le circonferenze con centro C(2,yc)

Il punto C è equidistante da P, Q. Imponendo la condizione:

 

CP=CQ

 

si ottiene:

(2-x0)² + (Yc - y0)² = x0² + (yc-2-x0)²

Sviluppando i conti:

4yc = 8x0

x0 = (1/2)*yc

 

Essendo CP=CQ= 2, sostituendo il valore di x0 trovato nell'espressione di CP si ottiene:

(2- yc/2)² + (1/4)*yc² = 4

-2yc + (1/2)* yc² = 0

 

Da cui si ricava:

yc=0, yc=4

 

Per yc=0 si ottiene:

(x-2)² + y² = 4

x² + y² - 4x = 0

 

Per yc = 4 si ottiene:

(x-2)² + (y-4)² = 4

x² + y² - 4x - 8y + 16 = 0

 

Per simmetria si determinano le altre due circonferenze 

 

 

 

 

Ciao di nuovo

Sono due le possibili circonferenze che soddisfano al requisito della tangenza all'asse delle y:

(x - 2)^2 + (y - h)^2 = 2^2 e  (x + 2)^2 + (y - h)^2 = 2^2

Quindi devi mettere a sistema, separatamente la prima con la bisettrice y =x e poi la seconda con la stessa bisettrice. Siccome i calcoli sono ripetitivi svolgo solo il primo sistema lasciando a te poi il seguente.

{x^2 + y^2 - 4·x - 2·h·y + h^2 = 0

{y = x

Quindi per sostituzione si arriva a : 2·x^2 - 2·x·(h + 2) + h^2 = 0

Affinché abbia soluzioni distinte deve essere:

Δ/4 > 0------> (h + 2)^2 - 2·h^2 > 0

- h^2 + 4·h + 4 > 0-------> 2 - 2·√2 < h < 2·√2 + 2

(-0.8284271247 < h < 4.828427124)

Risolvendo l'equazione precedente si ottiene:

x = - (√(- h^2 + 4·h + 4) - h - 2)/2 ∨ x = (√(- h^2 + 4·h + 4) + h + 2)/2

essendo y=x si ha:

Δx = Δy = (√(- h^2 + 4·h + 4) + h + 2)/2 + (√(- h^2 + 4·h + 4) - h - 2)/2

quindi:

Δx = Δy = √(- h^2 + 4·h + 4)

Quindi come richiesto, poniamo:

√(2·√(- h^2 + 4·h + 4)^2) = 2·√2

√2·√(- h^2 + 4·h + 4) = 2·√2

- h^2 + 4·h + 4 = 4

h = 4 ∨ h = 0

e quindi:

(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 2^2------> x^2 + y^2 - 4·x - 8·y + 16 = 0

(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 2^2-------> x^2 + y^2 - 4·x = 0