[Risolto] Esercizio grafico sulle funzioni

Ciao!

Una funzione è una relazione che a un valore della x associa uno e un solo valore di y.

Dal punto di vista grafico questo significa che tracciando una qualsiasi retta verticale (parallela all'asse y, delle ordinate) tale retta intersecherà il grafico della funzione al massimo una volta. Tra i grafici che l'esercizio propone, quindi, certamente non è una funzione il grafico a, mentre gli altri tre lo sono.

Certamente si noterà che in alcuni punti dei grafici b, c e d (che rappresentano funzioni a pieno diritto), se si traccia una retta verticale non si interseca nessun punto del grafico della funzione. In tali punti si dice che la funzione non è definita.

Si chiama invece dominio della funzione l'insieme dei punti in cui la funzione assume un valore.

Si ha dunque che:

• la funzione b è definita per tutti i numeri reali (quindi nell'insieme "R"), eccetto per x=1, dove si può notare dai cerchietti vuoti che la funzione non è definita (si provi a tracciare una retta verticale in x=1). Dominio di b:(-∞;1)U(1;+∞) con notazione insiemistica
• la funzione c è definita per  x < -1 e x > 0. Dominio: (-∞;-1)U(0;+∞)
• la funzione d è definita per x≠1. Dominio: (-∞;1)U(1;+∞)

L'insieme immagine di una funzione è l'insieme di tutti i valori della y che sono associati ad almeno un valore della x.

Per capire se un valore della y fa parte dell'insieme immagine basta tracciare sul grafico un retta orizzontale in corrispondenza di tale valore. Se tracciando la retta si incontrerà almeno un punto del grafico della funzione, allora quel valore della y appartiene all'insieme immagine.

Si ha dunque che:

• l'insieme immagine di b comprende tutti i valori di R, esclusi i valori compresi tra 1 e 2 o uguali a 1 o a 2 (si provi a tracciare una retta orizzontale in quell'intervallo). Insieme immagine: (-∞;1)U(2;+∞)
• l'insieme immagine di c comprende qualsiasi valore di R. Insieme immagine: R, oppure (-∞;+∞)
• l'insieme immagine di d comprende qualsiasi valore di R. Insieme immagine: R, oppure (-∞;+∞)

Una funzione si dice:

• Iniettiva se ogni elemento della y è immagine di al più un elemento della x. Cioè se a valori distinti della x associo immagini distinte. Questo significa che tracciando una retta orizzontale dovrò ottenere per ogni valore della y una sola intersezione con il grafico della funzione.
• Suriettiva se l'insieme immagine è R, o, meglio, se l'immagine corrisponde al codominio della funzione (non approfondisco, perché non è richiesto nell'esercizio).
• Biunivoca se è contemporaneamente iniettiva e suriettiva.

Quindi la funzione b è iniettiva ma non suriettiva; le funzioni c e d sono suriettive ma non iniettive. Nessuna delle funzioni è perciò biunivoca.

Infine, una funzione è positiva quando il suo grafico è al di sopra dell'asse delle x. Dunque b è positiva per x>0 (con x≠1, dove ricordo che la funzione non è definita), c è positiva per x<-2 e per x>0, d è positiva per x<2 ( con x≠1, dove la funzione non è definita).

Spero di esserti stato utile.