[Risolto] Esercizio funzione

Ciao!

La funzione è fratta, quindi il dominio è $denominatore \neq 0 $, mentre al denominatore troviamo una radice, il cui dominio è $radicando \geq 0 $. 

Dato che la funzione è composta da entrambi questi oggetti è necessario che le condizioni di esistenza siano verificate contemporaneamente, quindi dobbiamo metterle a sistema:

$\begin{cases} denominatore \neq 0 \\ radicando \geq 0 \end{cases}$

$\begin{cases} \sqrt{x^2-2x} \neq 0 \\ x^2-2x \geq 0 \end{cases} $

$\begin{cases} x^2-2x \neq 0 \\ x^2-2x \geq 0 \end{cases} $

infatti un radicale è nullo se è nullo il suo radicando, quindi ci limitiamo a studiare $x^2-2x \neq 0$. Se la aggiungiamo all'altra condizione ($x^2-2x \geq 0$) notiamo che il $\neq 0$ si lega al $\geq 0 $ semplicemente dicendo "non può essere maggiore o uguale, ma deve essere soltanto maggiore".

Il nostro sistema si riduce allo studio di questa disequazione: $x^2-2x > 0 $

Risolviamola: $x^2-2x > 0 $

$x(x-2)> 0 $ 

$x>0 \vee x > 2 $

__________0_____2_____

x>0:      -         +         +

x>2:      -         -          +

_______________________

             +        -           +

La soluzione della disequazione è $x < 0 \vee x > 0$, da cui il dominio della funzione è:

$(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$