Esercizio fascio parabole

Del fascio di parabole
* Γ(k) ≡ y = (k - 2)*x^2 - 2*(k - 1)*x + k ≡
≡ y = (x - 1)*((k - 2)*x - k)
non occorre sapere altro che l'equazione per rispondere ai quesiti.
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a) Dalla forma
* y = (x - 1)*((k - 2)*x - k)
si vede che ogni parabola del fascio passa per P(1, 0).
La risposta è "Per ogni valore di k, anche non reale.".
Un po' di più del risultato atteso.
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b) I punti dell'asse y distanti 5/2 dall'origine sono
* P(0, - 5/2) oppure Q(0, + 5/2)
Dai vincoli d'appartenenza
* - 5/2 = (0 - 1)*((k - 2)*0 - k) ≡ k = - 5/2
* + 5/2 = (0 - 1)*((k - 2)*0 - k) ≡ k = + 5/2
si ha la risposta "k = ± 5/2".
Come da risultato atteso.
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c) Dalla forma
* y = (x - 1)*((k - 2)*x - k)
si ha
* A(1, 0)
* B(k/(k - 2), 0)
* C(0, k)
L'area del triangolo ABC è
* S(ABC) = |k/(k - 2) - 1|*|k|/2 = |k|/|k - 2| = 3 ≡
≡ |k - 2| = |k|/3 ≡
≡ (k - 2 = - |k|/3) oppure (k - 2 = + |k|/3) ≡
≡ (|k| = 6 - 3*k) oppure (|k| = 3*k - 6) ≡
≡ (k = 6 - 3*k) oppure (k = 3*k - 6) ≡
≡ (k = 3/2) oppure (k = 3)
Come da risultato atteso.

@beppe

Ciao. Non è la prima volta che mi succede. All'invio della mia risposta esce la scritta:

"qualcosa non va con i tuoi dati" MANNAGGIA!

Quindi ricomincio la trafila!

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y = (k - 2)·x^2 - 2·(k - 1)·x + k è il fascio!

Per P(1,0) ottengo:

0 = (k - 2)·1^2 - 2·(k - 1)·1 + k

0 = (k - 2) - (2·k - 2) + k

0 = 0

Ottengo una identità quindi tutte le parabole del fascio passano per P

K qualsiasi!

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L'intersezione con l'asse delle y è data dal termine noto:

{y = (k - 2)·x^2 - 2·(k - 1)·x + k

{x = 0

Quindi y=k

se si vuole che tale intersezione disti dall'origine 5/2, deve essere:

|k|=5/2----> k = 5/2 v k = -5/2

a cui corrispondono due parabole:

y = (5/2 - 2)·x^2 - 2·(5/2 - 1)·x + 5/2-----> y = x^2/2 - 3·x + 5/2

y = (- 5/2 - 2)·x^2 - 2·(- 5/2 - 1)·x + - 5/2----> y = - 9·x^2/2 + 7·x - 5/2

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Determiniamo i punti A e B che costituiscono la base del triangolo ABC:

{y = (k - 2)·x^2 - 2·(k - 1)·x + k

{y = 0

per sostituzione:

(k - 2)·x^2 - 2·(k - 1)·x + k = 0

Risolvo ed ottengo:

x = k/(k - 2) ∨ x = 1

L'area di tale triangolo si valuta come:

Α = 1/2·ABS(k/(k - 2) - 1)·ABS(k) = 3

(siamo costretti ad adoperare i moduli in quanto quantità positive)

Α = 1/2·ABS(2/(k - 2))·ABS(k) = 3

Quindi risolviamo elevando al quadrato: 1/2·ABS(2/(k - 2))·ABS(k) = 3

k^2/(k - 2)^2 = 9 -----> k = 3/2 ∨ k = 3

A cui corrispondono due parabole:

y = (3/2 - 2)·x^2 - 2·(3/2 - 1)·x + 3/2---->  y = - x^2/2 - x + 3/2

y = (3 - 2)·x^2 - 2·(3 - 1)·x + 3----> y = x^2 - 4·x + 3