Studia il fascio di circonferenze di equazione x^2 + y^2 - 4x + 2y +1 = 0, determina poi l'equazione della circonferenza Y1 del fascio che stacca sull'asse y una corda di lunghezza 4 e quella di Y2 tangente alla retta 2x - 3y + 1 = 0.
Risposte : circonferenze concentriche; x^2 + y^2 - 4x + 2y - 3 = 0 ; x^2 + y^2 - 4X + 2y + 1/13 =0
Ringrazio, come sempre, chi vorrà darmi un aiuto per la soluzione di questo esercizio.
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Livello 1
@Beppe il parametro del fascio ti restò nella tastiera, tiralo fuori!
Ciao .
c’è qualcosa che non quadra in:
Studia il fascio di circonferenze di equazione
x^2 + y^2 - 4x + 2y +1 = 0
Ho visto da poco la tua correzione quindi il fascio è:
x^2 + y^2 - 4·x + 2·y - 4·k + 1 = 0
E' facile riconoscere in questa scrittura un fascio di circonferenze concentriche in C(2, -1), di raggio:
r = √(2^2 + (-1)^2 - (1 - 4·k))---------> r = 2·√(k + 1)
e quindi reali per: k + 1 ≥ 0-------> k ≥ -1
degenerano in C per k=-1 (raggio nullo)
Per rispondere alla domanda: determinare
la circonferenza Y1 del fascio che stacca sull'asse y una corda di lunghezza 4
poniamo il fascio a sistema con l'asse delle y:
{x^2 + y^2 - 4·x + 2·y - 4·k + 1 = 0
{x = 0
procediamo per sostituzione: 0^2 + y^2 - 4·0 + 2·y - 4·k + 1 = 0
y^2 + 2·y - 4·k + 1 = 0 risolviamo:
y = - 2·√k - 1 ∨ y = 2·√k - 1
quindi: (2·√k - 1) - (- 2·√k - 1) = 4·√k deve essere: 4·√k = 4----->k = 1
x^2 + y^2 - 4·x + 2·y - 4·1 + 1 = 0------> x^2 + y^2 - 4·x + 2·y - 3 = 0
--------------------------------------------------------
Tangente alla retta: 2·x - 3·y + 1 = 0
è una circonferenza che ha raggio r pari alla distanza di C(2,-1) da essa:
r = ABS(2·2 - 3·(-1) + 1)/√(2^2 + (-3)^2)-----> r = 8·√13/13
Quindi si deve porre: 2·√(k + 1) = 8·√13/13
4·(k + 1) = 64/13----> k = 3/13
Quindi circonferenza: x^2 + y^2 - 4·x + 2·y - 4·(3/13) + 1 = 0
x^2 + y^2 - 4·x + 2·y + 1/13 = 0
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Genius II
Ciao; scusa ho sbagliato a copiare il testo del fascio di circonferenze : quello esatto è : x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4k + 1 = 0. Mi dispiace, chiedo ancora scusa. Buon pomeriggio.
P.S. Ho riguardato tutto l'esercizio; il resto é tutto corretto. Grazie.
Grazie per la risposta che ho perfettamente compreso. Ti chiedo una cortesia, se e quando puoi: potresti inviarmi con tutta calma anche la soluzione all'esercitazione del fascio di parabole che ho postato oggi, perché ho ricevuto una risposta, ma non l'ho capita e mi capita sempre così tutte le volte che questa persona mi risponde. Se poi chiedo spiegazioni si altera, si perde in giri di parole inutili, fa mille disquisizioni e alla fine ne capisco ancora di meno. Se credi, ti invio il testo :
Fascio di parabole y = (k-2)x^2 - 2(k-1)x + k . Trovare il valore di k affinché il fascio intersechi l'asse y in un punto distante 5/2 dall'origine ; trovare il valore di k affinché il fascio intersechi l'asse x in due punti A e B e l'asse y in un punto C tali che il triangolo ABC abbia area 3.
Risposte : primo punto : -5/2; + 5/2. Secondo punto : 3/2; 3.
Forse sto un po' approfittando della tua disponibilità, ma, sei uno dei pochi che mi risponde sempre e soprattutto in modo chiaro e comprensibile. Grazie tante e buona serata.
@lucianop perché si fa cosi? : (2·√k - 1) - (- 2·√k - 1) = 4·√k deve essere: 4·√k = 4----->k = 1
Perché la differenza delle ordinate deve essere pari a 4. Siccome la differenza vale =4·√k (fai la differenza fra i valori di y trovati!) ne segue che
4·√k =4------> k =1
Nell'espressione
* x^2 + y^2 - 4*x + 2*y + 1 = 0
manca almeno un parametro per poterla considerare equazione di fascio.
Però nel risultato atteso c'è "circonferenze concentriche", e ciò supplisce.
L'equazione
* x^2 + y^2 - 4*x + 2*y + 1 = 0 ≡
≡ x^2 - 4*x + y^2 + 2*y + 1 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 - 2^2 + (y + 1)^2 - 1^2 + 1 = 0 ≡
≡ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 2^2
è di una singola circonferenza centrata in C(2, - 2) e di raggio r = 2.
La si trasforma in quella di un fascio concentrico semplicemente parametrizzando il raggio
* Γ(q) ≡ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = q = r^2
------------------------------
I punti comuni con l'asse y sono le soluzioni di
* (x = 0) & ((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = q) ≡
≡ P(0, - 1 - √(q - 4)) oppure Q(0, - 1 + √(q - 4))
distanti fra loro
* d(q) = 2*√(q - 4)
---------------
Da
* d(q) = 2*√(q - 4) = 4 ≡ q = 8
si ha
* Γ(8) ≡ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 8 ≡
≡ x^2 + y^2 - 4*x + 2*y - 3 = 0
------------------------------
I punti comuni con la retta
* 2*x - 3*y + 1 = 0 ≡ y = (2*x + 1)/3
sono le soluzioni di
* (y = (2*x + 1)/3) & ((x - 2)^2 + (y + 1)^2 = q)
e, per la tangenza, devono essere reali e coincidenti; cioè la risolvente
* (x - 2)^2 + ((2*x + 1)/3 + 1)^2 - q = 0
deve avere discriminante nullo
* Δ(q) = (4/9)*(13*q - 64) = 0 ≡ q = 64/13
da cui
* Γ(64/13) ≡ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 64/13 ≡
≡ x^2 + y^2 - 4*x + 2*y + 1/13 = 0
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Genius I
