Esercizio equazione

Ciao @ beppe

Se n è pari nessuna soluzione: infatti b^2+1 è una costante sempre strettamente positiva ed una radice di indice pari con Radicando negativo non si può estrarre.

Si può fare invece se l'indice è dispari.

n deve essere dispari altrimenti hai la somma di tre quadrati di cui uno fisso che non può mai essere zero con x in R. 

Se n è dispari ci sarà una soluzione reale negativa. 

A parte lo spaesamento provocato dal leggere "Buona serata" a mezzodì, c'è quello più acuto provocato dal leggere le risposte dovute @EidosM ed @LucianoP e i pollicioni dovuti @Remanzini_Rinaldo tutt'e tre amatissimi "amici di click", ma che in un'ipotetica sede d'esame io avrei bocciato verbalizzando la più infamante delle motivazioni "Tentava d'avvantaggiarsi sui compagni introducendo un'indebita ipotesi semplificativa non giustificabile dalla mera lettura del testo proposto."
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Il testo proposto reca «Per quali valori di n ∈ N l'equazione "x^n + b^2 + 1 = 0" ha almeno una soluzione? La risposta dipende dal valore di "b"?» e un alunno di normale preparazione dovrebbe leggervi quanto segue.
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A) A colpo d'occhio
A1) n ∈ N: N è l'insieme dei naturali, interi positivi.
A2) x^n + b^2 + 1 = 0: forma normale canonica di equazione razionale (polinomio = 0); polinomio nelle variabili (b, x).
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B) Per ipotesi giustificabili
B1) Le variabili (b, x), in assenza di specificazioni, si possono intendere a valore reale: x incognita, b parametro.
B2) "almeno una soluzione": la prof l'ha scritto a sua insaputa; proprio lei ci spiegò che la soluzione di un'equazione esiste in ogni caso e può assumere tre soli aspetti.
B2a) La dimostrazione che è impossibile perché equivale a una contraddizione.
B2b) La dimostrazione che è indeterminata perché equivale a una tautologia.
B2c) Un insieme di valori che si chiamano le radici dell'equazione.
B3) "almeno una soluzione": la prof era distratta quando l'ha scritto; evidentemente pensava "almeno una radice".
B4) "almeno una radice": la prof l'ha pensato a sua insaputa; proprio lei ci spiegò il teorema fondamentale dell'algebra "ogni equazione razionale di grado n a coefficienti reali ha esattamente n radici nel piano di Argand-Gauss."
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Poi, dopo avere pensato "E mo che scrivo?", dovrebbe optare per la massima semplicità.
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«Per quali valori di n ∈ N l'equazione "x^n + b^2 + 1 = 0" ha almeno una soluzione?»
L'equazione
* x^n + b^2 + 1 = 0 ≡
≡ x^n = - (b^2 + 1) ≡
≡ x^n = - c^2 < 0
qual che sia il valore di n ∈ N ha la soluzione che consiste delle n radici n-me di "- k^2" che, nel piano di Argand-Gauss, sono ai vertici di un n-agono regolare il cui circumcerchio ha circumcentro nell'origine e circumraggio r = (c^2)^(1/n) >= 1.
L'orientamento dell'n-agono dipende dalla parità di n
* per n dispari, un vertice è in ((c^2)^(1/n), 0)
* per n pari, due vertici sono in (± i*(c^2)^(1/n), 0)
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«La risposta dipende dal valore di "b"?»
La risposta no, ma la soluzione sì: al crescere del modulo di b, cresce il circumraggio.
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Vedi il paragrafo "Roots in the complex plane" ai link
http://www.wolframalpha.com/input?i=x%5En%3D-%28b%5E2%2B1%29+where+b%3D0%2Cn%3D5
http://www.wolframalpha.com/input?i=x%5En%3D-%28b%5E2%2B1%29+where+b%3D0%2Cn%3D6
http://www.wolframalpha.com/input?i=x%5En%3D-%28b%5E2%2B1%29+where+b%3D1%2Cn%3D5
http://www.wolframalpha.com/input?i=x%5En%3D-%28b%5E2%2B1%29+where+b%3D1%2Cn%3D6