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[Risolto] Esercizio di probabilità

  

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Esercizio 2. Sia $X$ una variabile aleatoria continua con densità $f_X$ data da
$$
f_X(x)= \begin{cases}2 x & \text { se } x \in[0,1] \\ 0 & \text { altrimenti. }\end{cases}
$$
Sia $Y$ un'altra variabile aleatoria continua tale che la sua densità condizional dato $X=x$ è uniforme su $[-x, x]$. Si indichi tale densità condizionale co $\bar{f}_{Y \mid X}(y \mid x)$
1. Calcolare la densità congiunta $f_{X, Y}(x, y)$ di $(X, Y)$.
2. Calcolare la densità $f_Y(y)$ di $Y$.
3. Calcolare $P (X+Y<1)$.

 

Buongiorno, non capisco come svolgere il seguente esercizio..

0149DD91 45A9 47F9 8783 F62260E25F60

 

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1 Risposta



1

Se ricordo bene, fXY(x,y) = fY|X(x,y) fX(x) 

e nel nostro caso 1/(x + x) * 2x = 1 

per cui la densità congiunta risulterebbe uniforme nel quadrato [0,1]x[0,1]

Se questo é vero, e spero che sia così, 

allora puoi esprimere il dominio rispetto a y 

[0,1]*[0, 2x] diventa 

0 <= y <= 2

1/2 y <= x <= 1

e fY(y) é l'integrale interno di S_[0,2] ( S_[y/2, 1] 1 dx ) dy 

 

e quindi é 1 - y/2    per 0 <= y <= 2

Puoi verificare la plausibilità constatando che   S_[0,2] (1 - y/2) dy = [y - y^2/4]_[0,2] = 1

 

Se non ho sbagliato interpretazione, la risposta all'ultima domanda dovrebbe essere 1/2

Infatti x va da 0 a 1 e y da 0 a 1 - x 

S_[0,1] S_[0,1 - x] 1 dx dy ( la densità congiunta era uniforme ) = 

= S_[0,1] (1 - x) dx  = [ x - x^2/2 ]_[0,1] = 1 - 1/2 = 1/2.



Risposta
SOS Matematica

4.6
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