Esercizio 2. Sia $(X, Y)$ una variabile aleatoria bidimensionale assolutamente continua con densità congiunta $f_{X, Y}$ data da
$$
f_{X, Y}(x, y)= \begin{cases}c x y & x \in[0,1], y \in[0, \sqrt{x}] \\ 0 & \text { altrimenti, }\end{cases}
$$
dove $c>0$ è una costante da determinare.
a) Calcolare la densità marginale $f_X$ di $X$ e trovare il valore della costante $c$.
b) Calcolare la densità marginale $f_Y$ di $Y$ e controllare che la costante $c$ sia corretta calcolando $\int_{ R } f_Y(y) d y$.
c) Stabilire se $X$ e $Y$ sono indipendenti.
Buongiorno, ho provato a svolgere quest’esercizio. Non capisco però quando devo trovare c, devo fare separatamente per le due funzioni marginali come ho scritto? O direttamente con la congiunta? Perché quando calcolo poi l’integrale rispetto ad y il risultato dipenderebbe da x.
Grazie in anticipo
