Considera la funzione
$f(x)=\frac{x}{x^{2}+a^{2}},$ con $a>0$
1. Studiala e traccia un grafico qualitativo della funzione, determinando in particolare i punti di estremo relativo e di flesso. Deduci, dal grafico della funzione $f(x)$, il grafico della funzione $f^{\prime}(x)$, mettendo in evidenza le relazioni tra due grafici e motivando il procedimento
2. L'area della regione di piano $D$, limitata dal grafico dalla funzione $f(x)$ e dal semiasse delle ascisse positive, è finita infinita? II volume del solido generato da una rotazione completa della regione $D$ intorno all'asse $x$ è finito o infinito? Motiva adeguatamente le riposte
3. Dato un filo conduttore di lunghezza infinita a sezione trascurabile, posto nel vuoto, in cui scorre una corrente $i$ calcola, utilizzando la legge di Ampère, l'intensità del campo magnetico in un punto a distanza r dal filo. Considera poi lo spazio (supposto vuoto), riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali $O x y z$ in cuil'unità di misura su cia scuno degli assi è il metro, il punto $P(x, 0,0)$ con $x \geq 0$ e i tre sistemi fisici descritti qui di seguito
Per ciascuno di questi tre sistemi fisici, specifica modulo, direzione e verso del campo magnetico risultante nel punto $P$. La funzione:
$$g(x)=\frac{\mu_{0} i}{\pi} f(x) \operatorname{con} x \geq 0$$
dove $\mu_{0}$ è la permeabilità magnetica del vuoto e $x$ rappresenta l'ascissa di $P$, esprime l'intensità del campo magneti co risultante nel punto $P$ in corrispondenza di uno solo dei tre sistemi fisici descritti: individua quale.
