Esercizio di matematica

Disegnati i due punti (3,0) e (0,1)

si riconosce immediatamente che l'ellisse canonica che passa per essi ha equazione

x^2/9 + y^2 = 1

Il sistema con la retta di equazione esplicita y = x - 1

fornisce la risolvente

x^2/9 + (x-1)^2 = 1

x^2/9 + x^2 - 2x + 1 - 1 = 0

10/9 x^2 - 2x = 0

10 x^2 - 18 x = 0

3x (5x - 9) = 0

xA = 0 => yA = 0 - 1 = -1 => A = (0, -1)

xB = 9/5 => yB = 9/5 - 1 = 4/5 => B = (9/5, 4/5)

Vediamo il grafico

https://www.desmos.com/calculator/z7lxk75ijt

Per il calcolo dell'area di OAB conviene scegliere come base

OA = |-1-0| = 1 e altezza h = |xB| = 9/5 e risulta quindi immediatamente

S = 1/2 * 1* 9/5 = 9/10.

L'ellisse Γ riferito ai propri assi e di semiassi positivi (a, b) ha equazione
* Γ(a, b) ≡ (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
La condizione di passare per (3, 0) e (0, 1) che essendo sugli assi devono essere vertici definisce
* (a, b) = (3, 1)
e quindi
* ε ≡ (x/3)^2 + y^2 = 1
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Il sistema retta-ellisse definisce i vertici del triangolo di cui si chiede l'area
* (y = x - 1) & ((x/3)^2 + y^2 = 1) ≡ A(0, - 1) oppure B(9/5, 4/5)
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METODO GENERALE per il calcolo dell'area S del triangolo ABC di vertici
* A(a, p), B(b, q), C(c, r) ≡ A(0, - 1), B(9/5, 4/5), C = O(0, 0)
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Scegliere secondo convenienza uno dei vertici, p.es. C, ed eseguire le sottrazioni di coppie
* CA ≡ A - C = (a, p) - (c, r) = (a - c, p - r) ≡ (0 - 0, - 1 - 0) = (0, - 1)
* CB ≡ B - C = (b, q) - (c, r) = (b - c, q - r) ≡ (9/5 - 0, 4/5 - 0) = (9/5, 4/5)
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Eseguire l'operazione
* CA × CB = (a - c, p - r) × (b - c, q - r) = a*(q - r) + b*(r - p) + c*(p - q) ≡
≡ (0, - 1) × (9/5, 4/5) = 9/5
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Dimezzare il valore assoluto del risultato dà il valore dell'area
* S(ABC) = |CA × CB|/2 = |a*(q - r) + b(r - p) + c*(p - q)|/2 =
= 9/10