[Risolto] Esercizio di Geometria Analitica

Disegniamo il segmento AB sul piano cartesiano

La traccia dice che deve essere $\overline{A C}=2 \overline{B C}$
Inducato con $(x, y)$ le coordinate di $C$, per il teorema di Talete, applicato alle rette parallele $A A^{\prime} C C^{\prime}$ e $B B^{\prime}$
tagliate dalle trasversali $A B$ e AA'
$$
\overline{A^{\prime} C^{\prime}}=2 \overline{C^{\prime} B^{\prime}}$$

E per il teorema di Talete applicato alle rette parallele $\mathrm{BB}^{\prime \prime} \mathrm{CC}^{\prime \prime}$ a $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ tagliate dalle trasversali $\mathrm{AB}$ e AA
$$
\overline{A C^{\prime \prime}}=2 \overline{C^{\prime \prime} B^{\prime \prime}}
$$
Ma è
$$
\overline{A^{\prime} C^{\prime}}=x-(-2)=x+2>0 \text { per } x \geq-2
$$
$\overline{C^{\prime} B^{\prime}}=4-x \geq 0$ per $x \leq 4$
Quindi dovrà essere
$x+2=2(4-x) \operatorname{con}-2 \leq x \leq 4$
Da cui
$$
x+2=8-2 x
$$

E quindi

$$
3 x=6
$$
Che restituisce $\mathrm{x}=2$ che è una soluzione ammissibile perché verifica i vincoli.
Per la y, osserviamo che
$$
\begin{array}{c}
\overline{A C^{\prime \prime}}=y+4 \geq 0 \text { per } y \geq-4 \\
\overline{C^{\prime \prime} B^{\prime \prime}}=-1-y \geq 0 \text { per } y \leq-1
\end{array}
$$
E quindi dovrà essere
$$
y+4=2(-1-y) \operatorname{con}-4 \leq y \leq-1
$$
Da cui si ricava che
$$
y+4=-2-2 y
$$
E quindi
$$
3 y=-6
$$

Da cui $y=-2$ che è una soluzione ammissibile. Quindi $\mathrm{C}(2 ;-2)$

C(2, - 2)
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"un punto C tale che AC sia il doppio di BC" vuol dire "tale che AC sia 2/3 di AB".
Si scrive l'equazione della retta AB come luogo di un punto cursore la cui posizione P(x(k), y(k)) sia funzione di un unico parametro (k) tale che
* per k = 0 si abbia P(x(0), y(0)) = A(- 2, - 4)
* per k = 1 si abbia P(x(1), y(1)) = B(+ 4, - 1)
* per k = 2/3 si abbia C(x(2/3), y(2/3))
La congiungente gli estremi del segmento da ripartire è il luogo di
* AB ≡ P = A + k*(B - A) ≡
≡ (x(k), y(k)) = (- 2, - 4) + k*((+ 4, - 1) - (- 2, - 4)) ≡
≡ (x(k), y(k)) = (- 2, - 4) + k*(6, 3) ≡
≡ (x(k), y(k)) = (6*k - 2, 3*k - 4)
da cui
* (x(2/3), y(2/3)) = (6*2/3 - 2, 3*2/3 - 4) = C(2, - 2)

@luix

Ciao. I punti A(-2,-4 )e B(4,-1) appartengono ad una retta del piano cartesiano e con essi tutti i punti interni al segmento AB. Il coefficiente angolare di tale retta vale:

m=(-1 + 4)/(4 + 2) = 1/2 e misura la pendenza del segmento AB stesso.

Un punto interno a tale segmento ha coordinate:

{x=-2+t

{y=-4+1/2*t

per t = 0 si ha il punto A, per t=6 si ha il punto B. Quindi  0 ≤ t ≤ 6

A 2/3 di 6 c'è quindi il valore di t: 2/3·6 = 4 =t 

Quindi:

{x= -2 +4 =2

{y=-4+2=-2    -------> C(2,-2)