Il teorema di Talete è un teorema riguardante i legami tra i segmenti omologhi creati sulle trasversali da un fascio di rette parallele che può essere usato anche nel caso dei triangoli.
Il teorema di Talete afferma che se un fascio di rette parallele è intersecato da due trasversali, i segmenti (compresi fra rette parallele) che si formano sulla prima trasversale sono direttamente proporzionali ai segmenti (compresi fra le stesse rette parallele) che si formano sulla seconda trasversale.
Ipotesi $a|b| c | d .$
Tesi: $A B: C D=A^{\prime} B^{\prime}: C^{\prime} D^{\prime}$
Dimostrazione del Teorema di Talete
Consideriamo i segmenti compresi fra rette parallele sulle trasversali $r$ e $s$. Indichiamo con $R$ l’insieme dei segmenti che stanno sulla retta $r$ e con $S$ l’insieme dei segmenti che stanno sulla retta $s$.
Stabiliamo una corrispondenza biunivoca associando a ogni segmento di $R$ il segmento di $S$ compreso fra le stesse parallele e viceversa.
Utilizziamo il criterio di proporzionalità diretta, controllando che siano verificate le due condizioni richieste:
- a segmenti congruenti su $r$ corrispondono segmenti congruenti su $s$, per il teorema del fascio di rette parallele (figura $a$ );
2. alla somma di due segmenti su $r$ corrisponde la somma dei segmenti corrispondenti su $s$ (figura $b$ ):
Concludiamo che l’insieme dei segmenti individuati sulla trasversale $r$ el’insieme dei segmenti individuati sulla trasversale $s$ sono insiemi di grandezze direttamente proporzionali. In particolare:
$A B: C D=A^{\prime} B^{\prime}: C^{\prime} D^{\prime}$
Si può anche dimostrare il teorema inverso.
TEOREMA Se su due rette $r$ e $r^{\prime}$ si considerano rispettivamente due insiemi di punti ordinati e in corrispondenza biunivoca tali che
- i segmenti aventi per estremi punti corrispondenti sono in proporzione,
- le rette che congiungono due coppie di punti tra loro corrispondenti sono parallele,
allora tutte le rette congiungenti coppie di punti corrispondenti sono parallele.