[Risolto] Esercizio di fisica

La regione topologica nel piano euclideo-cartesiano in cui il campo magnetico risulta nullo è calcolabile mediante l'uguaglianza dei campi magnetici generati dalle correnti $i_1$ e $i_2\,$, calcolabili tramite la Legge di Biot-Savart:

\[B_1 = \frac{\mu_0 i_1}{2\pi x} = B_2 = \frac{\mu_0 i_2}{2\pi y} \implies \frac{i_1}{x} = \frac{i_2}{y} \:\Bigg|_{\substack{i_1 = 2\;A}}^{4\;A} = \frac{2}{x} = \frac{4}{y} \iff y = 2x\,.\]

I vertici opposti della spira rettangolare sono $A(3,5)$ e $B(9,15)\,$.

Per calcolare il flusso magnetico, si calcola l'integrale del campo magnetico risultante sull'area della spira:

\[\Phi = \int_{x_0}^{3_{x_0}}\int_{y_0}^{3_{y_0}} B\:dx\,dy \mid B = B_y - B_x \implies\]

\[\Phi = \int_{3}^{9} \int_{5}^{15} \left( \frac{\mu_0 \cdot 2}{2\pi x} - \frac{\mu_0 \cdot 4}{2\pi y} \right)\:dx\,dy = \dots = \Psi \in \mathbb{R}\,.\]

Da quest'ultima equazione ti ricavi il flusso, risolvendo l'integrale Riemanniano.

Altro metodo banale, se non hai trattato gli integrali multipli, puoi integrare la regione topologica sottostante al segmento di secondo estremo $B$ (il primo estremo lo ricavi dalle coordinate che ti fornisce la traccia) e sottrai l'integrale della regione sottostante al segmento di primo estremo $A$ (analogamente al caso precedente, il secondo estremo lo ricavi dalle coordinate).

Prova a trovare un altro metodo, molto più banale di quanto non lo fossero i precedenti (è un'applicazione di una formula dipendente da un parametro ricavabile da un'applicazione geometrica elementare).