Sia $\Omega=\left\{(x, y, z) \in \mathbf{R}^3: x^2+y^2+z^2 \leq 2, z \geq \sqrt{x^2+y^2}, y \geq 0\right\}$ e sia $F: \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}^3$ il campo vettoriale definito da
$$
F(x, y, z)=\left(x y z, x z^2, x^2 y\right)
$$
Calcolare il flusso di $F$ uscente da $\Omega$, dettagliando i passaggi.
Anche se mi sembrava semplice il risultato discorda e non capisco il perché. Aiuto
8
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Livello 0
Consideriamo la regione
\[\Omega = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 \leq 2, z \geq \sqrt{x^2 + y^2}, y \geq 0\}\,,\]
e il campo vettoriale
\[\mathbf{F}(x, y, z) = (xyz, xz^2, x^2y)\,.\]
La divergenza del campo si calcola come
\[\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(xyz) + \frac{\partial}{\partial y}(xz^2) + \frac{\partial}{\partial z}(x^2y)\]
\[\nabla \cdot \mathbf{F} = yz + 0 + 0 = yz\,.\]
Per il Teorema della Divergenza, il flusso di $\mathbf{F}$ attraverso $\Omega$ si calcola come
\[\iint_{\partial \Omega} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \iiint_{\Omega} yz \, dV\,.\]
In coordinate sferiche, dove $x = \rho \sin{\phi}\cos{\theta}\,$, $y = \rho \sin{\phi}\sin{\theta}\,$,$z = \rho \cos{\phi}$ e il determinante Jacobiano è $\rho^2 \sin{\theta}\,$, si ha
\[\iiint_{\Omega} (yz) \, dV = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{\sqrt{2}} (\rho \sin \phi \sin \theta)(\rho \cos \phi) \rho^2 \sin \theta \, d\rho \, d\phi \, d\theta\]
\[= \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{\sqrt{2}} \rho^4 \sin^2 \theta \cos \phi \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta\,.\]
Risolvendo l'integrale trovi il flusso ($\frac{4}{15}$).
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Livello 5
@enrico_bufacchi con i tuoi numeri viene 2/15 ma il risultato coretto è 4/15
Rispondendo a @ivan_angel
\[\iiint_\Omega (yz) \, dV = \int_0^{\sqrt{2}} \int_0^{\pi/4} \int_0^{\pi/2} (\rho \sin \theta \sin \phi)(\rho \cos \theta) \rho^2 \sin \theta \, d\phi \, d\theta \, d\rho\]
\[= \int_0^{\sqrt{2}} \int_0^{\pi/4} \int_0^{\pi/2} \rho^4 \sin^2 \theta \cos \theta \sin \phi \, d\phi \, d\theta \, d\rho\]
\[\int_0^{\pi/2} \sin \phi \, d\phi = \left[-\cos \phi \right]_0^{\pi/2} = 1\]
\[\int_0^{\sqrt{2}} \int_0^{\pi/4} \rho^4 \sin^2 \theta \cos \theta \, d\theta \, d\rho\]
\[\int_0^{\pi/4} \sin^2 \theta \cos \theta \, d\theta\,.\]
Sia $u = \sin \theta\,$:
\[du = \cos \theta \, d\theta\,.\]
I limiti di integrazione cambiano da $\theta = 0$ a $\theta = \pi / 4$, corrispondenti a $u = 0$ e $u = \frac{1}{\sqrt{2}}\,$:
\[\int_0^{1/\sqrt{2}} u^2 \, du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{6\sqrt{2}}\]
\[\int_0^{\sqrt{2}} \rho^4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \, d\rho = \frac{1}{3\sqrt{2}} \int_0^{\sqrt{2}} \rho^4 \, d\rho\,.\]
Integrando rispetto a $\rho$
\[\int_0^{\sqrt{2}} \rho^4 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2})^5}{5} = \frac{4\sqrt{2}}{5} \implies\]
\[\frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot \frac{4\sqrt{2}}{5} = \frac{4}{15}\,.\]
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Livello 5
Ciao @ivan_angel,
sì, molto probabilmente ho sbagliato la conversione in coordinate sferiche (quindi gli intervalli di integrazione), il resto dovrebbe essere tutto corretto. Più tardi, tempo permettendo, cerco di risolvere. Intanto prova a rivedere tale conversione e a svolgere l'integrale triplo della divergenza di $\mathbf{F}\,$. Fammi sapere.
@enrico_bufacchi Alla fine per fare divergenza ho deciso di fare un integrale: tra 0 e 1, 0 e pigreco e tra raggio e radice di due meno raggio^2 .
Precedentemente pare che io abbia fatto il calcolo in modo sbagliato e troppo frettoloso perdendo dei pezzi. Grazie per l'aiuto
Ciao @ivan_angel,
ho ricontrollato:
Poiché $\phi$ è colatitudine, le coordinate sferiche sono:
\[x = \rho \sin{\phi} \cos{\theta}\]
\[y = \rho \sin{\phi} \sin{\theta}\]
\[x = \rho \cos{\phi}\,,\]
tale che
\[0 \leq \rho \leq \sqrt{2}\]
\[0 \leq \phi \leq \pi /4\]
\[0 \leq \theta \leq \pi\,.\]
Trovi la correzione nella prima risposta
